Bir Sanayi ve Teknoloji Bakanlığı denetçisi, belirli bir standartta üretilen bir motor par… — KPSS İstatistik

Bir Sanayi ve Teknoloji Bakanlığı denetçisi, belirli bir standartta üretilen bir motor parçasının montaj sürelerini (dakika) incelemek üzere rastgele $n=16$ parçalık bir örneklem almıştır. Elde edilen veriler için $\sum_{i=1}^{16} x_i = 800$ ve $\sum_{i=1}^{16} x_i^2 = 40960$ istatistikleri hesaplanmıştır.

Kitle varyansının bilinmediği ve montaj sürelerinin normal dağıldığı varsayılan bu durumda, denetçi kitle ortalaması $\mu$ için $\%95$ güven düzeyinde bir aralık tahmini yapmak istemiş; ancak standart normal dağılım kritik değerini ( $Z_{0.025} \approx 1.96$ ) kullanarak aralığı hesaplamıştır.

Buna göre, veri setinden elde edilmesi gereken doğru güven aralığı ile denetçinin yapmış olduğu teorik hatanın aralık genişliği üzerindeki etkisi aşağıdakilerin hangisinde birlikte ve doğru olarak verilmiştir? (Hesaplamalarda kullanılabilecek tablo değerleri: $t_{15, 0.025} = 2.131$ , $t_{16, 0.025} = 2.120$ )

Doğru aralık $[45.738, 54.262]$ olmalıdır. Kitle varyansı bilinmediği için $t$ -dağılımı kullanılmalıdır ve denetçinin $Z$ dağılımını kullanması, hesaplanan güven aralığının olması gerekenden daha dar çıkmasına neden olmuştur.Cevap
B
Doğru aralık $[45.760, 54.240]$ olmalıdır. Serbestlik derecesi $n=16$ alınarak $t$ -dağılımı kullanılmalıdır ve denetçinin $Z$ dağılımını kullanması aralığı gereksiz yere genişletmiştir.
C
Doğru aralık $[46.080, 53.920]$ olmalıdır. Verilerin normal dağıldığı bilindiği için $Z$ dağılımının kullanılması teorik olarak doğru bir yaklaşımdır, aralık genişliğinde herhangi bir hata bulunmamaktadır.
D
Doğru aralık $[45.873, 54.127]$ olmalıdır. Kitle varyansı tahmin edilirken yansızlık için varyans formülünde $n$ böleni kullanılmalı ve elde edilen standart hata $t$ -dağılımı ile çarpılmalıdır.
E
Doğru aralık $[32.952, 67.048]$ olmalıdır. Standart hata hesabı yapılmadan varyans karekökü doğrudan kullanılmalı ve hesaplanan bu aralık kitle ortalamasını tam olarak $\%95$ olasılıkla içinde bulundurmalıdır.

Cevap

Doğru aralık t-dağılımı (n-1 serbestlik derecesi) kullanılarak hesaplanan

[45.738, 54.262]

olmalıdır ve Z dağılımı kullanılması aralığın hatalı şekilde daralmasına yol açar.

Verilen bilgilerde kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmemektedir. Bu durumda yansız örneklem varyansı

S^2 = [\sum x^2 - n\bar{x}^2]/(n-1)

formülü ile

64

bulunur. Buradan

S=8

ve standart hata

SE = 8/\sqrt{16} = 2

olarak hesaplanır. Serbestlik derecesi

n-1 = 15

olan t-kritik değeri

2.131

'dir. Hata payı

2.131 \times 2 = 4.262

olduğundan aralık

[45.738, 54.262]

olur. t-dağılımı, varyans tahmini belirsizliğini hesaba kattığından standart normal (Z) dağılıma göre daha basık ve kalın kuyrukludur (

2.131 > 1.96

). Bu sebeple

Z

yerine

t

kullanılması gereken bir yerde

Z

kullanmak, aralığı yanıltıcı derecede daraltır.

Adım Adım Çözüm

Örneklem ortalamasını (

\bar{x}

) hesapla.

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{800}{16} = 50

Güven aralığının merkez noktasını belirlemek için nokta tahmini gereklidir.

Yansız örneklem varyansını (

S^2

) ve örneklem standart sapmasını (

S

) hesapla.

S^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1} = \frac{40960 - 16(50)^2}{15} = \frac{40960 - 40000}{15} = \frac{960}{15} = 64

. Buradan

S = \sqrt{64} = 8

elde edilir.

Kitle varyansı bilinmediği için standart hatayı hesaplamak adına varyansın yansız tahmin edicisine ihtiyaç vardır.

Ortalamanın standart hatasını (

SE

) hesapla.

SE = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{16}} = \frac{8}{4} = 2

Güven aralığının hata payı (margin of error) standart sapma üzerinden değil, standart hata üzerinden bulunur.

Kullanılacak dağılımı ve kritik değeri belirle.

Kitle varyansı bilinmediğinden serbestlik derecesi

df = n-1 = 15

olan

t

-dağılımı kullanılır. Tablodan

t_{15, 0.025} = 2.131

alınır.

Varyans bilinmediğinde ve S kullanıldığında, test istatistiği tam olarak t-dağılımına uyar.

Doğru güven aralığını hesapla.

\bar{x} \pm t_{15, 0.025} \times SE \implies 50 \pm (2.131 \times 2) \implies 50 \pm 4.262 \implies [45.738, 54.262]

Kitle ortalaması için alt ve üst sınırları belirleyen temel formüldür.

Teorik hatayı ve aralık genişliğine etkisini analiz et.

Denetçinin hesapladığı hata payı:

1.96 \times 2 = 3.92

. Gerçek hata payı:

4.262

. Z kullanımı hesaplanan aralığı gerçekte olması gerekenden daha dar yapmıştır.

t-dağılımı Z'ye göre daha kalın kuyruklara (heavy tails) sahiptir; varyans tahmini kaynaklı ek belirsizliği kompanse etmek için güven aralığını genişletir.

Anahtar Kavram

Bilinmeyen kitle varyansı durumunda

t

-dağılımı ile aralık tahmini ve serbestlik derecesi kavramı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru