Bir belediyenin Çevre Koruma Dairesi uzmanları, bir sanayi bölgesindeki yeraltı sularında … — KPSS İstatistik

Bir belediyenin Çevre Koruma Dairesi uzmanları, bir sanayi bölgesindeki yeraltı sularında bulunan ortalama kurşun konsantrasyonunu ( $\mu$ ) tahmin etmek amacıyla bölgedeki 16 farklı kuyudan rastgele su numuneleri almıştır. Kitle varyansının bilinmediği ve yeraltı sularındaki kurşun konsantrasyonlarının normal dağılım gösterdiği varsayılmaktadır. Uzmanlar tarafından $\mu$ için hesaplanan %95 güven aralığı $(189.345, \, 210.655)$ mikrogram/litre olarak raporlanmıştır.

Buna göre, bu örneklemden elde edilen standart sapma ( $S$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplamalarda $t_{15, 0.025} = 2.131$ ve $Z_{0.025} = 1.96$ tablo değerlerini dikkate alınız.)

A
$5.00$
$20.00$ Cevap
C
$21.74$
D
$40.00$
E
$80.00$

Cevap

Doğru değer

20.00

mikrogram/litre olmalıdır.

Verilen güven aralığının geometrik merkezinden yola çıkarak hata payı

E = 10.655

olarak bulunur. Kitle varyansının bilinmemesi ve örneklem çapının küçük (

n=16

) olması nedeniyle standart hata,

Z

istatistiği ile değil

t_{n-1}

istatistiği ile çarpılmalıdır.

E = t_{15, 0.025} \times \frac{S}{\sqrt{n}}

denkleminde verilenler yerine yazıldığında

10.655 = 2.131 \times \frac{S}{4}

elde edilir ve denklem çözüldüğünde standart sapma

20.00

olarak doğrulanır.

Adım Adım Çözüm

Güven aralığının sınırlarından faydalanarak hata payını (

E

) hesapla.

E = (210.655 - 189.345) / 2 = 21.31 / 2 = 10.655

Güven aralığı ortalamanın etrafında simetrik olarak

\bar{x} \pm E

formülü ile oluşturulduğundan, hata payı üst sınır ile alt sınır arasındaki farkın yarısına eşittir.

Kitle varyansı bilinmediği için kullanılacak uygun tablo değerini belirle.

n=16 < 30

ve kitle varyansı bilinmediği için

t

dağılımı (

t_{15, 0.025} = 2.131

) seçilmelidir.

Varyansın örneklemden tahmin edildiği durumlarda, test istatistiği standart normal dağılım (

Z

) yerine Student's

t

dağılımına uyar.

Hata payı formülünü yazarak örneklem standart sapmasını (

S

) hesapla.

10.655 = 2.131 \times \frac{S}{\sqrt{16}} \Rightarrow 10.655 = 2.131 \times \frac{S}{4} \Rightarrow S = \frac{10.655 \times 4}{2.131} = 20.00

Hata payı formülünde (

E = t \times \frac{S}{\sqrt{n}}

) bilinen tüm değerler yerine konularak, bilinmeyen

S

parametresi yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı Çıkarımı ve Hata Payı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru