Bir kamu kurumunda evrak onay süreçlerinin tamamlanma sürelerinin normal dağıldığı varsayı… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunda evrak onay süreçlerinin tamamlanma sürelerinin normal dağıldığı varsayılmaktadır. Bu işlem sürelerinin kitle ortalaması ( $\mu$ ) için $\%95$ güven düzeyinde bir aralık tahmini yapılmak istenmektedir. Kitle varyansı bilinmediği için $16$ evraktan oluşan rastgele bir örneklem alınmış olup, örneklem ortalaması $\bar{X} = 45$ dakika ve örneklem standart sapması $S = 8$ dakika olarak hesaplanmıştır.

İlgili kurumdaki bir uzman, güven aralığı sınırlarını hesaplamış ve rapora şu notu düşmüştür: *'Evrak onay süreçlerinin kitle ortalamasının hesaplanan bu güven aralığı içinde yer alma olasılığı $\%95$ 'tir.'*

Buna göre, kitle ortalaması için doğru güven aralığı sınırları ve uzmanın raporundaki yorumun istatistiksel geçerliliği aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

(Gerektiğinde aşağıdaki kritik değerleri kullanınız: $Z_{0.025} = 1.96$ , $t_{15, 0.025} = 2.131$ , $t_{16, 0.025} = 2.120$ )

[40.738, 49.262] ; Yorum hatalıdır, %95 değeri bu spesifik aralığın değil, aralık oluşturma yönteminin güvenilirliğini ifade eder.Cevap
B
[40.738, 49.262] ; Yorum doğrudur, hesaplanan aralık kitle ortalamasını gerçekte %95 olasılıkla içinde barındırmaktadır.
C
[41.080, 48.920] ; Yorum hatalıdır, %95 değeri bu spesifik aralığın değil, aralık oluşturma yönteminin güvenilirliğini ifade eder.
D
[41.080, 48.920] ; Yorum doğrudur, hesaplanan aralık kitle ortalamasını gerçekte %95 olasılıkla içinde barındırmaktadır.
E
[40.760, 49.240] ; Yorum hatalıdır, %95 değeri bu spesifik aralığın değil, aralık oluşturma yönteminin güvenilirliğini ifade eder.

Cevap

Güven aralığı [40.738, 49.262] olarak hesaplanmalı ve uzmanın olasılık yorumunun istatistiksel açıdan hatalı olduğu belirtilmelidir.

Doğru seçenekte güven aralığı formülü

\bar{X} \pm t_{n-1, \alpha/2} (S/\sqrt{n})

eksiksiz uygulanmış ve kitle varyansı bilinmediğinden serbestlik derecesi

15

olan

t

tablosu değeri (2.131) kullanılarak

[40.738, 49.262]

sınırları bulunmuştur. Aynı zamanda, istatistikte çok yaygın olan 'hesaplanan aralığın olasılığı

\%95

tir' yorumlama hatası da doğru biçimde tespit edilerek yorumun hatalı olduğu belirtilmiştir.

Adım Adım Çözüm

Verilen bilgileri ve uygun istatistiksel dağılımı belirleme

Örneklem hacmi

n = 16

\bar{X} = 45

S = 8

. Kitle varyansı bilinmediğinden ve örneklem küçük (

n < 30

) olduğundan Student's t-dağılımı kullanılmalıdır.

Varyansın bilinmediği durumlarda pivot fonksiyonu Z dağılımına değil,

n-1

serbestlik dereceli t dağılımına uyar.

Serbestlik derecesi ve uygun tablo kritik değerini bulma

Serbestlik derecesi

sd = n - 1 = 16 - 1 = 15

\%95

güven düzeyi için

\alpha = 0.05

ve iki yönlü bölge için

\alpha/2 = 0.025

. İlgili t-değeri:

t_{15, 0.025} = 2.131

Güven aralığı formülünde kullanılacak hata payı çarpanını doğru belirlemek için.

Hata payını (E) ve güven aralığı sınırlarını hesaplama

Hata payı

E = t \times (S / \sqrt{n}) = 2.131 \times (8 / 4) = 2.131 \times 2 = 4.262

. Alt sınır:

45 - 4.262 = 40.738

. Üst sınır:

45 + 4.262 = 49.262

Seçilen örnekleme ait

\bar{X}

değeri etrafında nokta tahminine eklenen duyarlılık sınırlarını oluşturmak için.

Uzmanın güven düzeyi yorumunu teorik çerçevede değerlendirme

Yorum hatalıdır. Frekansçı (frequentist) istatistikte,

\%95

güven düzeyi spesifik bir aralığın olasılığını değil, aralığı tahmin etme yönteminin uzun vadede (tekrarlı örneklemlerde) başarılı olma oranını ifade eder.

Gerçekleşmiş bir aralık [40.738, 49.262] hesaplandıktan sonra kitle parametresi (sabit bir değer) ya bu aralıktadır ya da değildir; dolayısıyla bu spesifik durum için olasılık

\%95

değil, tanımsızdır veya

0 / 1

olarak kabul edilir.

Anahtar Kavram

Bilinmeyen varyanslı küçük örneklemlerde tek kitle ortalaması güven aralığı ve güven düzeyinin frekansçı yorumu

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru