Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBernoulli Dağılımı

Bir klinik deneyde, uygulanan yeni bir tedavi yönteminin başarılı olma durumu X=1X = 1, başarısız olma durumu ise X=0X = 0 ile tanımlanmıştır. Tedavinin başarılı olma olasılığı p∈(0,1)p \in (0,1) parametresi ile ifade edilmektedir.

Buna göre, XX rastgele değişkeninin varyansı (Var(X)Var(X)) ve moment çıkaran fonksiyonu (MX(t)M_X(t)) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

  1. Var(X)=p(1−p)Var(X) = p(1-p) ve MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^tCevap
  2. B
    Var(X)=p2Var(X) = p^2 ve MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^t
  3. C
    Var(X)=pVar(X) = \sqrt{p} ve MX(t)=p+(1−p)etM_X(t) = p + (1-p)e^t
  4. D
    Var(X)=p(1+p)Var(X) = p(1+p) ve MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^t
  5. E
    Var(X)=p(1−p)Var(X) = p(1-p) ve MX(t)=p+(1−p)etM_X(t) = p + (1-p)e^t

Cevap

Rastgele değişkenin varyansı Var(X)=p(1−p)Var(X) = p(1-p) ve moment çıkaran fonksiyonu MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^t olarak hesaplanır.
Bernoulli dağılımında rastgele değişken yalnızca 1 ve 0 değerlerini alır. E[X]=pE[X] = p ve E[X2]=pE[X^2] = p'dir. Bu nedenle varyans Var(X)=E[X2]−(E[X])2=p−p2=p(1−p)Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p) olarak bulunur. Moment çıkaran fonksiyon ise E[etX]=∑etxP(X=x)=et(0)(1−p)+et(1)p=(1−p)+petE[e^{tX}] = \sum e^{tx}P(X=x) = e^{t(0)}(1-p) + e^{t(1)}p = (1-p) + pe^t formülü ile ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1
XX rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonunu yazmak.
P(X=1)=pP(X=1) = p ve P(X=0)=1−pP(X=0) = 1-p olur.
Değişken sadece 0 ve 1 değerlerini aldığı için Bernoulli dağılımına sahiptir.
2
XX'in beklenen değerini (E[X]E[X]) ve karesinin beklenen değerini (E[X2]E[X^2]) hesaplamak.
E[X]=1⋅p+0⋅(1−p)=pE[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p ve E[X2]=12⋅p+02⋅(1−p)=pE[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p bulunur.
Varyans formülü olan Var(X)=E[X2]−(E[X])2Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 eşitliğini kullanabilmek için bu değerlere ihtiyaç vardır.
3
Varyansı hesaplamak.
Var(X)=p−p2=p(1−p)Var(X) = p - p^2 = p(1-p) elde edilir.
Varyansın temel tanımının Bernoulli dağılımına uygulanmasıdır.
4
Moment çıkaran fonksiyonu (MX(t)M_X(t)) tanım üzerinden hesaplamak.
MX(t)=E[etX]=et⋅0⋅P(X=0)+et⋅1⋅P(X=1)=1⋅(1−p)+et⋅p=(1−p)+petM_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t bulunur.
Moment çıkaran fonksiyon, her xx değeri için etxe^{tx} ile o değerin olasılığının çarpılıp toplanmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımının beklenen değeri, varyansı ve moment çıkaran fonksiyonu
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Bernoulli Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru