Bernoulli Dağılımı Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir klinik deneyde, uygulanan yeni bir tedavi yönteminin başarılı olma durumu $X = 1$ , başarısız olma durumu ise $X = 0$ ile tanımlanmıştır. Tedavinin başarılı olma olasılığı $p \in (0,1)$ parametresi ile ifade edilmektedir.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

Var(X) = p(1-p)

ve

M_X(t) = (1-p) + pe^t

Var(X) = p^2

ve

M_X(t) = (1-p) + pe^t

Var(X) = \sqrt{p}

ve

M_X(t) = p + (1-p)e^t

Var(X) = p(1+p)

ve

M_X(t) = (1-p) + pe^t

Var(X) = p(1-p)

ve

M_X(t) = p + (1-p)e^t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Var(X) = p(1-p)$ ve $M_X(t) = (1-p) + pe^t$

Cevap

Rastgele değişkenin varyansı

Var(X) = p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

M_X(t) = (1-p) + pe^t

olarak hesaplanır.

Bernoulli dağılımında rastgele değişken yalnızca 1 ve 0 değerlerini alır.

E[X] = p

ve

E[X^2] = p

'dir. Bu nedenle varyans

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

olarak bulunur. Moment çıkaran fonksiyon ise

E[e^{tX}] = \sum e^{tx}P(X=x) = e^{t(0)}(1-p) + e^{t(1)}p = (1-p) + pe^t

formülü ile ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonunu yazmak.

P(X=1) = p

ve

P(X=0) = 1-p

olur.

Değişken sadece 0 ve 1 değerlerini aldığı için Bernoulli dağılımına sahiptir.

2

X

'in beklenen değerini (

E[X]

) ve karesinin beklenen değerini (

E[X^2]

) hesaplamak.

E[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p

ve

E[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p

bulunur.

Varyans formülü olan

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

eşitliğini kullanabilmek için bu değerlere ihtiyaç vardır.

3

Varyansı hesaplamak.

Var(X) = p - p^2 = p(1-p)

elde edilir.

Varyansın temel tanımının Bernoulli dağılımına uygulanmasıdır.

4

Moment çıkaran fonksiyonu (

M_X(t)

) tanım üzerinden hesaplamak.

M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t

bulunur.

Moment çıkaran fonksiyon, her

x

değeri için

e^{tx}

ile o değerin olasılığının çarpılıp toplanmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımının beklenen değeri, varyansı ve moment çıkaran fonksiyonu

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 2Soru →

Bir e-ticaret platformunda, bir ziyaretçinin sepete eklediği ürünü satın alma eylemi $X=1$ , sepeti terk etme eylemi ise $X=0$ olarak tanımlanmıştır. Bir ziyaretçinin ürünü satın alma olasılığının $p$ (burada $0 < p < 1$ ) olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu süreci modelleyen $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri, varyansı ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak ifade edilmiştir?

Beklenen değeri

p

, varyansı

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

(1-p) + pe^t

Beklenen değeri

p

, varyansı

p^2

ve moment çıkaran fonksiyonu

(1-p) + pe^t

Beklenen değeri

1-p

, varyansı

p(1+p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

p + (1-p)e^t

Beklenen değeri

p

, varyansı

\sqrt{p}

ve moment çıkaran fonksiyonu

(1-p) + pe^t

Beklenen değeri

p

, varyansı

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

p + (1-p)e^t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Beklenen değeri $p$ , varyansı $p(1-p)$ ve moment çıkaran fonksiyonu $(1-p) + pe^t$

Cevap

Beklenen değeri

p

, varyansı

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

(1-p) + pe^t

olarak verilen seçenektir.

Bernoulli dağılımı gösteren bir

X

rastgele değişkeninin yalnızca iki olası durumu vardır: başarı (

X=1

) ve başarısızlık (

X=0

). Bu değişkenin beklenen değeri, değerlerle olasılıkların çarpım toplamı olan

p

'dir. Varyansı,

E[X^2] - E[X]^2

işleminden

p - p^2 = p(1-p)

olarak elde edilir. Moment çıkaran fonksiyonu ise

E[e^{tX}]

formülünün uygulanmasıyla

(1-p) + pe^t

sonucunu verir. Tüm bu eşitliklerin doğru sağlandığı ifade doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen değerin (E[X]) hesaplanması

E[X] = 1 \cdot P(X=1) + 0 \cdot P(X=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p

Kesikli rastgele değişkenlerde beklenen değer, alınan değerlerin kendi olasılıklarıyla çarpılıp toplanmasıyla bulunur.

2

Varyansın (Var(X)) hesaplanması

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = (1^2 \cdot P(X=1) + 0^2 \cdot P(X=0)) - p^2 = p - p^2 = p(1-p)

Varyans formülü kullanılarak, ikinci momentten beklenen değerin karesi çıkarılır.

3

Moment çıkaran fonksiyonun (M_X(t)) hesaplanması

M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t

Moment çıkaran fonksiyonun tanımına göre

e^{tx}

ifadeleri olasılık ağırlıklarıyla toplanır.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımının beklenen değeri, varyansı ve moment çıkaran fonksiyonu

Soru 3Soru →

Yalnızca $0$ ve $1$ değerlerini alabilen kesikli bir $X$ rastgele değişkeni için, moment çıkaran fonksiyonun $t=0$ noktasındaki birinci türevinin $M'_X(0) = p$ olduğu (burada $0 < p < 1$ ) bilinmektedir.

Bu rastgele değişkenin sadece iki farklı değer alabildiği gerçeği göz önüne alındığında, $X$ 'in varyansı ( $Var(X)$ ) ve genel moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru olarak verilmiştir?

Var(X) = p(1-p)

ve

M_X(t) = (1-p) + pe^t

Var(X) = p^2

ve

M_X(t) = p + (1-p)e^t

Var(X) = p(1+p)

ve

M_X(t) = (1-p) + pe^{-t}

Var(X) = \sqrt{p}

ve

M_X(t) = (1-p)e^{-t} + pe^t

Var(X) = p(1-p)

ve

M_X(t) = pe^t + (1-p)e^{-t}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Var(X) = p(1-p)$ ve $M_X(t) = (1-p) + pe^t$

Cevap

Varyansın

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonun

(1-p) + pe^t

olarak verildiği seçenektir.

Verilen

X

rastgele değişkeni yalnızca

0

ve

1

değerlerini alabildiğinden, parametresi

p

olan bir Bernoulli dağılımına sahiptir. Moment çıkaran fonksiyonun türevinden hareketle

E[X] = p

olarak bulunmuştur.

X^2 = X

özelliğinden ötürü ikinci ham moment de

E[X^2] = p

olur ve varyans

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p(1-p)

olarak hesaplanır. Moment çıkaran fonksiyon ise temel beklenti denkleminden

E[e^{tX}] = (1-p)e^{0} + pe^{t} = (1-p) + pe^t

biçiminde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

X

değişkeninin alabileceği değerleri ve beklenen değerini belirleme.

X \in \{0, 1\}

ve

M'_X(0) = E[X] = p

.

Moment çıkaran fonksiyonun birinci türevinin

t=0

'daki değeri, istatistiksel teorem gereği değişkenin beklenen değerini (birinci ham momentini) verir.

2

X

'in olasılık fonksiyonunu (PMF) oluşturma.

X=1

durumu için

P(X=1) = p

ve

X=0

durumu için

P(X=0) = 1-p

.

Değişken sadece

0

ve

1

değerlerini aldığından

E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) = p

eşitliğini sağlaması için başarının olasılığı

p

olmalıdır. Bu yapı Bernoulli dağılımını tanımlar.

3

Varyansı bulmak için ikinci ham momenti (

E[X^2]

) hesaplama.

X \in \{0, 1\}

olduğu için

X^2 = X

olacaktır. Buradan

E[X^2] = E[X] = p

elde edilir.

Yalnızca

0

ve

1

değerlerini alan gösterge (indicator) değişkenlerin her kuvveti kendisine eşittir.

4

Varyans formülünü uygulama.

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

.

Varyansın temel tanımı kullanılarak hesaplama tamamlanır.

5

Moment çıkaran fonksiyonu tanımdan türetme.

M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0}(1-p) + e^{t \cdot 1}p = (1-p) + pe^t

.

M_X(t)

genel beklenti operatörü altındaki tanımına doğrudan olasılık kütle fonksiyonu değerlerinin yazılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımının Moment Çıkaran Fonksiyon Üzerinden Teorik Türetimi

Soru 4Soru →

İstatistiksel bir çalışmada, belirli bir özelliğin gözlemlenip gözlemlenmemesi durumunu matematiksel olarak ifade etmek amacıyla bir $X$ indikatör (gösterge) değişkeni tanımlanmıştır. Bu değişkenin doğası gereği, tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin beklenen değeri aynı olup her $k = 1, 2, \dots$ için $E[X^k] = p$ $(0 < p < 1)$ koşulunu sağlamaktadır.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

p(1-p)

ve

(1-p) + pe^t

p(1+p)

ve

(1-p) + pe^t

p^2

ve

\frac{pe^t}{1 - (1-p)e^t}

\sqrt{p}

ve

pe^t

p(1-p)

ve

p + (1-p)e^t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p(1-p)$ ve $(1-p) + pe^t$

Cevap

Doğru seçenek, varyansı

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

(1-p) + pe^t

olarak veren seçenektir.

Verilen

E[X^k] = p

koşulu, rastgele değişkenin yalnızca

0

ve

1

değerlerini alabildiğini gösterir, çünkü yalnızca bu sayıların her kuvveti kendisine eşittir (

X^k = X

). Bu durumda

X \sim Bernoulli(p)

olur. Bernoulli dağılımının varyansı

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

şeklinde hesaplanır. Moment çıkaran fonksiyon ise tanım gereği

E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0}P(X=0) + e^{t \cdot 1}P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

E[X^k] = p

eşitliğinden

X

değişkeninin durum uzayını ve olasılık dağılımını belirlemek.

E[X^2] = E[X] \implies X^2 = X

eşitliği yalnızca

X=0

ve

X=1

için sağlanır. Dolayısıyla

P(X=1) = p

ve

P(X=0) = 1-p

olan Bernoulli dağılımı söz konusudur.

Tüm kuvvetlerin aynı beklenen değere sahip olması, değişkenin sadece indikatör (gösterge) değerleri alabileceğini matematiksel olarak kanıtlar.

2

Varyansı temel formül üzerinden hesaplamak.

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

olarak bulunur.

Varyans tanım formülü, dağılımın yayılımını bulmak için en doğrudan yöntemdir.

3

Moment çıkaran fonksiyonu (

M_X(t)

) tanım üzerinden oluşturmak.

M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum e^{tx}P(X=x) = e^{t(0)}(1-p) + e^{t(1)}p = (1-p) + pe^t

elde edilir.

Kesikli dağılımlar için moment çıkaran fonksiyon,

e^{tx}

değerleri ile olasılıkların ağırlıklı toplamıdır.

Anahtar Kavram

İndikatör değişkenlerin moment özellikleri ve Bernoulli Dağılımının karakteristikleri

Alternatif Yöntem

M_X(t) = E[e^{tX}]

tanımında

e^{tX}

fonksiyonunun Maclaurin serisi (Taylor açılımı) kullanılarak doğrudan analitik bir yaklaşım izlenebilir:

E[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(tX)^k}{k!}] = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{t^k E[X^k]}{k!}

. Soruda verilen

E[X^k] = p

eşitliği yerine yazıldığında işlem:

1 + p \sum_{k=1}^{\infty} \frac{t^k}{k!} = 1 + p(e^t - 1) = 1 - p + pe^t

şekline dönüşür. Bu yöntem değişkenin

(0,1)

değerlerini aldığını baştan keşfetmeden bile doğru sonuca ulaştırır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 5Soru →

Olasılık teorisinde, bir

X

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF) her

t \in \mathbb{R}

için

M_X(t) = (1-p) + p e^t \quad (0 < p < 1)

biçiminde tanımlanmaktadır.

Bu rastgele değişkene deterministik bir fonksiyon uygulanarak $Y = 2^X$ şeklinde yeni bir rastgele değişken elde ediliyor.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(Y)$ ) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

4p(1-p)

p^2

p(1-p)

p(1+p)

\sqrt{p}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p(1-p)$

Cevap

Dönüştürülmüş

Y

rastgele değişkeninin varyansı

p(1-p)

ifadesine eşittir.

Verilen moment çıkaran fonksiyon (MGF)

X \sim Bernoulli(p)

dağılımına aittir.

X

rastgele değişkeni yalnızca

0

ve

1

değerlerini alabildiğinden, bu iki nokta için

2^X = X+1

eşitliği her zaman doğrudur. Varyansın doğrusal dönüşüm kuralına göre

Var(X+1) = Var(X)

olur. Bernoulli dağılımının varyansı da

p(1-p)

olduğundan, dönüştürülmüş değişkenin varyansı değişmez ve

p(1-p)

kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen moment çıkaran fonksiyondan (MGF)

X

rastgele değişkeninin dağılımını ve alabileceği değerleri belirlemek.

M_X(t) = (1-p) + p e^t

fonksiyonu, başarı olasılığı

p

olan Bernoulli dağılımının karakteristik yapısıdır. Bu nedenle

X \sim Bernoulli(p)

olur ve

X

değişkeni yalnızca

0

ve

1

değerlerini alır.

Bir rastgele değişkenin dağılımı, eğer mevcutsa, moment çıkaran fonksiyonu ile tekil (unique) olarak belirlenir.

2

Y = 2^X

rastgele değişkeninin olasılık dağılımını (PMF) elde etmek.

X=0

durumunda

Y = 2^0 = 1

(Olasılık:

1-p

)

X=1

durumunda

Y = 2^1 = 2

(Olasılık:

p

)
Böylece

Y

değişkeninin kesikli olasılık dağılımı bulunmuş olur.

X

'in aldığı spesifik değerler üzerinden, tanımlanan üstel fonksiyon doğrudan dönüştürülerek

Y

'nin durumu saptanır.

3

Y

rastgele değişkeninin beklenen değerini (

E[Y]

) hesaplamak.

E[Y] = \sum y \cdot P(Y=y) = 1 \cdot (1-p) + 2 \cdot p = 1 - p + 2p = 1 + p

.

Varyans formülünün (

Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2

) ikinci kısmı için birinci momente (beklenen değere) ihtiyaç vardır. (Alternatif olarak

E[2^X] = M_X(\ln 2)

ile de aynı sonuç bulunur).

4

Y^2

'nin beklenen değerini (

E[Y^2]

) hesaplamak.

Y^2

değerleri

1^2=1

ve

2^2=4

şeklindedir.

E[Y^2] = 1 \cdot (1-p) + 4 \cdot p = 1 - p + 4p = 1 + 3p

.

Varyans formülünün ilk kısmı olan ikinci momenti bulmak zorunludur.

5

Var(Y)

varyans değerini sonuca ulaştırmak ve alternatif yöntemi doğrulamak.

Var(Y) = (1 + 3p) - (1 + p)^2 = 1 + 3p - (1 + 2p + p^2) = p - p^2 = p(1-p)

.

Varyans tanımı başarıyla uygulanmıştır. Ayrıca,

X \in \{0,1\}

iken

2^X = X+1

lineer eşitliği geçerlidir. Buradan

Var(2^X) = Var(X+1) = Var(X) = p(1-p)

olduğu çok daha kısa yoldan teyit edilebilir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyon ile Beklenen Değer ve Varyans Dönüşümleri

Alternatif Yöntem

E[Y]

ve

E[Y^2]

değerlerini doğrudan moment çıkaran fonksiyon kullanarak hesaplayabilirsiniz.

E[Y] = E[2^X] = E[e^{X \ln 2}] = M_X(\ln 2) = 1 - p + p e^{\ln 2} = 1 - p + 2p = 1 + p

. Benzer şekilde

E[Y^2] = E[4^X] = M_X(\ln 4) = 1 + 3p

bulunur ve buradan doğrudan varyans hesaplanarak yine

p(1-p)

sonucuna ulaşılır.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 6Soru →

Bir risk analizi çalışmasında, belirli bir sistemin arıza yapma durumu $X$ indikatör (gösterge) rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Sistem arıza yaparsa $X=1$ , yapmazsa $X=0$ değerini almaktadır. Sistemin arıza yapma olasılığı $p$ 'dir ( $0 < p < 1$ ).

Bu sistemin yarattığı finansal etki, $a$ sıfırdan farklı sabit bir reel sayı olmak üzere, $Z = e^{aX}$ üstel dönüşümü ile tanımlanmıştır.

Buna göre, finansal etkiyi temsil eden $Z$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[Z]$ ) ve varyansı ( $Var(Z)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

E[Z] = 1 - p + p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = p(1-p)(e^a - 1)^2

E[Z] = 1 - p + p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = p(1-p)e^{2a}

E[Z] = 1 - p + p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = p(1+p)(e^a - 1)^2

E[Z] = p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = p^2(e^a - 1)^2

E[Z] = 1 - p + p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = \sqrt{p}(e^a - 1)^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $E[Z] = 1 - p + p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = p(1-p)(e^a - 1)^2$

Cevap

Z değişkeninin beklenen değeri E[Z] = 1 - p + p e^a ve varyansı Var(Z) = p(1-p)(e^a - 1)^2 olarak bulunur.

Bernoulli dağılımında değişken yalnızca 0 ve 1 değerlerini aldığı için, Z = e^{aX} fonksiyonu da yalnızca e^0=1 (1-p olasılıkla) ve e^a (p olasılıkla) değerlerini alabilir. Beklenen değer basitçe E[Z] = 1*(1-p) + e^a*p olarak hesaplanır. Varyans için Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2 formülü uygulandığında (1-p+pe^{2a}) - (1-p+pe^a)^2 işlemi yapılır. Bu ifadenin (1-p) terimleri ve p kareleri üzerinden tam kareye tamamlanarak sadeleştirilmesiyle p(1-p)(e^a - 1)^2 kesin sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Z = e^{aX} rastgele değişkeninin alabileceği değerleri ve olasılıklarını belirleyin.

X=0 (Olasılık: 1-p) için Z = e^{a(0)} = 1 olur. X=1 (Olasılık: p) için Z = e^{a(1)} = e^a olur.

Sürekli veya ayrık bir değişkenin fonksiyonunun beklenen değerini bulmak için öncelikle fonksiyonun çıktı değerlerinin tanımlanması gerekir.

2

Z'nin beklenen değerini (E[Z]) hesaplayın.

E[Z] = \sum z \cdot P(Z=z) = 1 \cdot (1-p) + e^a \cdot p = 1 - p + p e^a.

Varyans formülünde (Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2) kullanmak üzere birinci momentin bulunması zorunludur.

3

Z'nin karesinin beklenen değerini (E[Z^2]) hesaplayın.

Z^2 değişkeni, X=0 için 1^2=1 ve X=1 için (e^a)^2=e^{2a} değerlerini alır. E[Z^2] = 1 \cdot (1-p) + e^{2a} \cdot p = 1 - p + p e^{2a}.

Varyansın temel hesaplama formülü olan E[Z^2] - (E[Z])^2 bağıntısındaki ikinci bileşeni elde etmek içindir.

4

Varyansı (Var(Z)) hesaplamak için bulduğunuz değerleri yerine koyun ve kare açılımını yapın.

Var(Z) = (1 - p + p e^{2a}) - (1 - p + p e^a)^2 = (1 - p + p e^{2a}) - ((1-p)^2 + 2p(1-p)e^a + p^2 e^{2a}).

İki momentin farkı, Z rastgele değişkeninin ortalamadan sapmalarının karesel ortalamasını verir.

5

Cebirsel ifadeyi sadeleştirerek nihai formata dönüştürün.

(1-p) - (1-p)^2 = (1-p)(1 - (1-p)) = p(1-p) elde edilir. Ayrıca pe^{2a} - p^2e^{2a} = p(1-p)e^{2a} olur. İfade p(1-p) + p(1-p)e^{2a} - 2p(1-p)e^a şekline gelir. p(1-p) parantezinde (1 - 2e^a + e^{2a}) tam karesi oluşur. Sonuç: p(1-p)(e^a - 1)^2.

Seçeneklerdeki şıklarla eşleşebilmesi için ifadenin çarpanlara ayrılmış en sade halinin bulunması gerekir.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımına sahip bir değişkenin üstel dönüşümünde (moment çıkaran fonksiyon yapısında) beklenen değer ve varyans hesaplaması

Soru 7Soru →

Bir tarımsal araştırma projesinde, belirli bir genetik özelliğe sahip tohumların çimlenme durumu incelenmektedir. İnceleme sonucunda tohumun başarıyla çimlenmesi durumu $X=1$ , çimlenememesi durumu ise $X=0$ değeri ile kodlanmıştır. Tohumun başarıyla çimlenme olasılığı $p \in (0, 1)$ olarak bilinmektedir.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

p(1-p)

ve

(1-p) + p e^t

p^2

ve

(1-p) + p e^t

p(1+p)

ve

(1-p) + p e^t

\sqrt{p}

ve

p + (1-p) e^t

p(1-p)

ve

p + (1-p) e^t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p(1-p)$ ve $(1-p) + p e^t$

Cevap

X

rastgele değişkeninin varyansı

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

(1-p) + p e^t

şeklindedir.

Verilen senaryoda tohumun çimlenme durumu

0

ve

1

değerlerini aldığından,

X

rastgele değişkeni

p

parametreli bir Bernoulli dağılımı gösterir. Bu dağılım için

E[X]=p

ve

E[X^2]=p

'dir, bu sebeple varyans

Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=p-p^2=p(1-p)

olur. Moment çıkaran fonksiyon ise

E[e^{tX}] = p \cdot e^t + (1-p) \cdot e^0 = (1-p) + p e^t

formülüyle ispatlanır. Doğru seçenek her iki özelliği de eksiksiz sunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım türünü ve beklenen değerini belirleme

X \sim Bernoulli(p)

dağılımına sahiptir. Beklenen değeri

E[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p

olur.

Değişken yalnızca iki durum (

0

ve

1

) alabildiğinden indikatör değişkendir ve Bernoulli kurallarına uyar.

2

Varyansı hesaplama

Var(X) = p(1-p)

E[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p

'dir. Varyans formülü

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

kullanıldığında

p - p^2 = p(1-p)

elde edilir.

3

Moment çıkaran fonksiyonu bulma

M_X(t) = (1-p) + p e^t

MGF tanımı gereği

M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum_{x} e^{tx} P(X=x)

eşitliği ile

e^{0}(1-p) + e^{t}p

işlemi uygulanır.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımının varyansı ve moment çıkaran fonksiyonunun (MGF) elde edilişi

Alternatif Yöntem

Bernoulli dağılımı aslında deneme sayısının

n=1

olduğu Binom dağılımıdır. Binom dağılımının genel MGF formülü

(1-p + p e^t)^n

olduğundan,

n=1

yazılarak doğrudan moment çıkaran fonksiyon bulunabilir. Varyans için de Binom varyansı olan

np(1-p)

formülünde

n=1

konularak sonuca ulaşılır.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 8Soru →

Bir kamu kurumunun elektronik belge yönetim sistemine (EBYS) yüklenen evrakların, sistem tarafından otomatik olarak hatalı formatta işaretlenme durumu incelenmektedir. Sisteme yüklenen herhangi bir evrakın hatalı formatta olma olasılığı $p$ $(0 < p < 1)$ olarak belirlenmiş olup, her evrakın durumu birbirinden bağımsızdır. Bir evrakın hatalı formatta işaretlenmesi durumu $X=1$ , hatasız kabul edilmesi durumu ise $X=0$ değeri ile modellenmektedir.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) ve herhangi bir $t \in \mathbb{R}$ için moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

Var(X) = p^2 \quad , \quad M_X(t) = 1 - p + p e^t

Var(X) = p(1+p) \quad , \quad M_X(t) = p + (1-p) e^t

Var(X) = p(1-p) \quad , \quad M_X(t) = 1 - p + p e^t

Var(X) = \sqrt{p} \quad , \quad M_X(t) = 1 - p + p e^t

Var(X) = p(1-p) \quad , \quad M_X(t) = e^{p(e^t - 1)}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Var(X) = p(1-p) \quad , \quad M_X(t) = 1 - p + p e^t$

Cevap

Var(X) = p(1-p)

ve

M_X(t) = 1 - p + p e^t

ifadelerinin birlikte yer aldığı seçenektir.

Sadece iki farklı durum barındıran (1 ve 0) Bernoulli dağılımı gösteren

X

indikatör değişkeni için varyans hesaplaması

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

formülüyle standart olarak elde edilir. Moment çıkaran fonksiyon ise tanım gereği

M_X(t) = E[e^{tX}]

eşitliğinden yola çıkılarak

(1-p) + p e^t

şeklinde bulunur. Her iki değerin de doğru ifade edildiği eşleştirme matematiksel olarak eksiksizdir.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin beklenen değerini (

E[X]

) bulma

X \in \{0, 1\}

değerlerini aldığından,

E[X] = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p

elde edilir.

Varyans formülünü uygulayabilmek için öncelikle birinci moment olan beklenen değere ihtiyaç vardır.

2

X

rastgele değişkeninin ikinci momentini (

E[X^2]

) hesaplama

X^2

değişkeni de yalnızca

0^2=0

ve

1^2=1

değerlerini alacağından,

E[X^2] = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p

olur.

Varyans formülünün (

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

) ana bileşenlerinden biridir.

3

Varyansı (

Var(X)

) formülde yerine koyma

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

sonucu bulunur.

Bernoulli değişkeninin temel değişkenlik ölçüsünü kesinleştirmek için adımlar birleştirilir.

4

Moment çıkaran fonksiyonu (MGF) tanımlama

M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = 1 - p + p e^t

olarak elde edilir.

Moment çıkaran fonksiyonun tanım formülü kullanılarak teorik gösterim doğrulanır.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımında Beklenen Değer, Varyans ve Moment Çıkaran Fonksiyon İlişkisi

Soru 9Soru →

Bir finansal risk analizi çalışmasında, belirli bir kredi portföyünden rastgele seçilen bir kredinin temerrüde düşme durumu $Y$ gösterge (indikatör) rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Kredinin temerrüde düşmesi durumu $Y=1$ , düşmemesi durumu ise $Y=0$ olarak tanımlanmış olup, temerrüde düşme olasılığı $p$ $(0 < p < 1)$ olarak belirlenmiştir.

$Y$ rastgele değişkeninin beklenen değeri $E(Y)$ , varyansı $Var(Y)$ ve moment çıkaran fonksiyonu $M_Y(t)$ olduğuna göre;

E(Y) \cdot Var(Y) \cdot M_Y(t)

çarpımının teorik ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

p^3 \left[ (1-p) + p e^t \right]

p \sqrt{p} \left[ (1-p) + p e^t \right]

p^2(1-p) \left[ (1-p) + p e^t \right]

p^2(1+p) \left[ (1-p) + p e^t \right]

p^2(1-p) \left[ p + (1-p) e^t \right]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p^2(1-p) \left[ (1-p) + p e^t \right]$

Cevap

İstenen teorik çarpımın doğru ifadesi

p^2(1-p) \left[ (1-p) + p e^t \right]

şeklindedir.

Bernoulli dağılımına sahip gösterge değişkenlerinde beklenen değer

p

, varyans

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyon

(1-p) + p e^t

'dir. İstenen

E(Y) \cdot Var(Y) \cdot M_Y(t)

çarpımı, bu üç teorik ifadenin ardışık olarak çarpılmasıyla

p \cdot p(1-p) \cdot [ (1-p) + p e^t ] = p^2(1-p) [ (1-p) + p e^t ]

sonucunu doğurur.

Adım Adım Çözüm

1

Bernoulli dağılımının beklenen değerini (

E(Y)

) belirleme

E(Y) = p

Y

değişkeni 1 değerini

p

olasılıkla, 0 değerini

1-p

olasılıkla aldığı için

E(Y) = 1(p) + 0(1-p) = p

olur.

2

Bernoulli dağılımının varyansını (

Var(Y)

) hesaplama

Var(Y) = p(1-p)

E(Y^2) = 1^2(p) + 0^2(1-p) = p

olduğundan, varyans formülü gereği

Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = p - p^2 = p(1-p)

elde edilir.

3

Bernoulli dağılımının moment çıkaran fonksiyonunu (

M_Y(t)

) türetme

M_Y(t) = (1-p) + p e^t

MGF tanımı gereği

M_Y(t) = E(e^{tY}) = e^{t(0)} P(Y=0) + e^{t(1)} P(Y=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + p e^t

formülü uygulanır.

4

Bulunan teorik özellikleri birbiriyle çarpma

p^2(1-p) \left[ (1-p) + p e^t \right]

Değerler formülde yerine konulduğunda

p \cdot p(1-p) \cdot [ (1-p) + p e^t ] = p^2(1-p) [ (1-p) + p e^t ]

matematiksel sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımının temel karakteristikleri (Beklenen değer, Varyans ve Moment Çıkaran Fonksiyon)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Büyük ölçekli bir lojistik operasyonunda, sevk edilen bir kargonun hedeflenen gün içinde teslim edilebilme durumu $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Teslimatın başarılı olması $X=1$ , gecikmesi ise $X=0$ olarak tanımlanmış olup, zamanında teslimat olasılığı $p \in (0,1)$ değerine sahiptir.

Süreci optimize etmeye çalışan bir mühendis, $X$ değişkenini kullanarak $Y = aX + b$ şeklinde doğrusal bir dönüşüm tanımlamıştır ( $a, b \in \mathbb{R}$ ). Yapılan teorik incelemeler sonucunda $Y$ değişkeninin moment çıkaran fonksiyonunun (MGF)

M_Y(t) = (1-p)e^{-pt} + p e^{(1-p)t}

olduğu görülmüştür.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin varyansı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

p^2

p

p(1-p)

p(1+p)

\sqrt{p}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p(1-p)$

Cevap

Y

rastgele değişkeninin varyansı

p(1-p)

ifadesine eşittir.

Verilen

Y = aX + b

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu genel ifadeyle

M_Y(t) = e^{tb} [(1-p) + pe^{ta}]

şeklindedir. Sorudaki MGF ifadesi ile karşılaştırıldığında,

e

'nin kuvvetleri eşleştirildiğinde

b = -p

ve

a+b = 1-p

bağıntıları elde edilir. Buradan

a = 1

ve

b = -p

bulunur. Dolayısıyla mühendisin uyguladığı dönüşüm

Y = X - p

'dir. Varyansın temel özelliklerinden dolayı sabit sayıların varyansa etkisi yoktur; yani

Var(Y) = Var(X - p) = 1^2 \cdot Var(X)

olur.

X

bir Bernoulli değişkeni olduğu için varyansı doğrudan

p(1-p)

'ye eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Y = aX + b

değişkeninin moment çıkaran fonksiyonunun genel teorik formülünü yazmak.

M_Y(t) = E[e^{t(aX+b)}] = e^{tb} E[e^{taX}] = e^{tb} [(1-p) + pe^{ta}] = (1-p)e^{tb} + pe^{t(a+b)}

Soruda verilen spesifik MGF yapısı ile katsayıları eşleştirebilmek için doğrusal dönüşümün genel MGF formatını belirlemek gerekir.

2

Teorik MGF ile soruda verilen MGF'yi eşleştirerek

a

ve

b

katsayılarını hesaplamak.

(1-p)e^{tb} + pe^{t(a+b)} = (1-p)e^{-pt} + p e^{(1-p)t}

eşitliğinden

b = -p

ve

a+b = 1-p

(buradan

a = 1

) elde edilir.

Dönüşüm katsayılarını (

a

ve

b

) bularak

Y

rastgele değişkeninin tam olarak

Y = X - p

şeklinde tanımlandığını tespit etmek için.

3

Y

değişkeninin varyansını varyansın doğrusal dönüşüm özellikleri kullanılarak hesaplamak.

Y = X - p

olduğundan,

Var(Y) = Var(X - p) = Var(X) = p(1-p)

olarak bulunur.

Doğrusal bir dönüşümde

Var(aX+b) = a^2Var(X)

kuralı geçerlidir. Bernoulli dağılımının varyansı

p(1-p)

'dir ve toplama/çıkarma işleminin varyansa etkisi yoktur.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımının Moment Çıkaran Fonksiyonu ve Doğrusal Dönüşümlerin Varyansa Etkisi

Alternatif Yöntem

Varyansı bulmak için moment çıkaran fonksiyonun türevleri de doğrudan kullanılabilir. MGF'nin t'ye göre birinci türevinde t=0 yazıldığında beklenen değer (

E[Y] = M_Y'(0) = 0

), ikinci türevinde t=0 yazıldığında ise ikinci moment (

E[Y^2] = M_Y''(0) = p(1-p)

) bulunur. Daha sonra

Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = p(1-p) - 0 = p(1-p)

eşitliğiyle doğrudan aynı sonuca ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 11Soru →

Bir araştırmacı, laboratuvar ortamında gerçekleştirdiği bağımsız bir deneyde belirli bir kimyasal reaksiyonun gözlenme durumunu modelliyor. Reaksiyonun gerçekleşmesi durumunda $X=1$ , gerçekleşmemesi durumunda ise $X=0$ değeri atanmaktadır. Reaksiyonun gerçekleşme olasılığının $p$ ( $0 < p < 1$ ) olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu araştırmacının modellediği $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[X]$ ), varyansı ( $Var(X)$ ) ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

p \quad , \quad p(1-p) \quad , \quad (1-p) + pe^t

p \quad , \quad p^2 \quad , \quad p + (1-p)e^t

p \quad , \quad \sqrt{p} \quad , \quad (1-p) + pe^t

p \quad , \quad p(1+p) \quad , \quad (1-p) + pe^t

1-p \quad , \quad p(1-p) \quad , \quad pe^t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p \quad , \quad p(1-p) \quad , \quad (1-p) + pe^t$

Cevap

Doğru seçenek; beklenen değerin

p

, varyansın

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonun

(1-p) + pe^t

olarak verildiği seçenektir.

Bernoulli dağılımına sahip bir rastgele değişkenin sadece iki çıktısı vardır (0 ve 1). Beklenen değer başarı olasılığına (

p

), varyans başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımına (

p(1-p)

) ve moment çıkaran fonksiyonu ise tanım kümesi üzerinden alınan toplama (

E[e^{tX}] = (1-p) + pe^t

) eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin olasılık dağılımını belirlemek.

X

, sadece 0 ve 1 değerlerini alabildiğinden ve tek bir denemeyi temsil ettiğinden başarı olasılığı

p

olan bir Bernoulli dağılımına sahiptir.

Sadece iki olası sonucu olan (başarı/başarısızlık) tekil denemeler Bernoulli dağılımı ile modellenir.

2

Beklenen değeri (

E[X]

) hesaplamak.

E[X] = \sum x \cdot P(X=x) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p

elde edilir.

Kesikli rastgele değişkenlerde beklenen değer, her bir değerin kendi olasılığı ile çarpımlarının toplamına eşittir.

3

Varyansı (

Var(X)

) hesaplamak.

Önce

E[X^2]

hesaplanır:

E[X^2] = 0^2 \cdot (1-p) + 1^2 \cdot p = p

bulunur. Ardından varyans formülüne konur:

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

.

Varyans,

E[X^2] - (E[X])^2

formülü kullanılarak elde edilir.

4

Moment çıkaran fonksiyonu (

M_X(t)

) türetmek.

M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t

olarak bulunur.

Moment çıkaran fonksiyon tanım gereği

E[e^{tX}]

beklenen değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımı Özellikleri

Soru 12Soru →

Bir belediyenin yürüttüğü akıllı şehir projesi kapsamında, sisteme bağlı olan sokak lambalarının arıza durumu takip edilmektedir. Rastgele seçilen bir lambanın 'arızalı' olma olasılığı $p = 0,30$ olarak saptanmıştır. Lambanın arızalı olması durumu $1$ , arızalı olmaması (çalışıyor olması) durumu $0$ değeriyle temsil edildiğine göre, bu durumu modelleyen Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı kaçtır?

0,21

0,09

0,30

0,55

0,39

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,21

Cevap

Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı 0,21 olarak hesaplanır.

Bernoulli rastgele değişkeni için varyans hesaplanırken başarı olasılığı (

p

) ile başarısızlık olasılığı (

1-p

) çarpılır. Sorumuzda

p=0,30

olduğu için başarısızlık olasılığı

1-0,30=0,70

olur. Çarpım sonucunda

0,30 \times 0,70 = 0,21

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirle

p = 0,30

ve

q = 1 - p = 0,70

Bernoulli dağılımında başarı olasılığı

p

, başarısızlık olasılığı ise

1-p

ile gösterilir.

2

Varyans formülünü uygula

Var(X) = 0,30 \times 0,70 = 0,21

Bernoulli dağılımına sahip bir rastgele değişkenin varyansı

p \times q

çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımı Varyansı

Tahmini Süre:45s

Soru 13Soru →

Bir istatistiksel kalite kontrol sürecinde, bir ürünün 'kusurlu' olma durumunu temsil eden $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t) = 0,7 + 0,3e^t$ olarak verilmiştir. Buna göre, bu rastgele değişkenin varyansı ( $Var(X)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,21

0,09

0,55

0,39

0,30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,21

Cevap

Varyansın 0,21 olduğu seçenek doğrudur.

Bernoulli rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu

M_X(t) = (1-p) + pe^t

olarak tanımlanır. Soruda verilen

0,7 + 0,3e^t

ifadesinden başarı olasılığının

p=0,3

olduğu anlaşılır. Varyans formülü olan

Var(X) = p(1-p)

uygulandığında

0,3 \times (1 - 0,3) = 0,3 \times 0,7 = 0,21

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Moment çıkaran fonksiyondan parametre değerini belirleme

p = 0,3

ve

1-p = 0,7

Bernoulli dağılımının moment çıkaran fonksiyonu

M_X(t) = (1-p) + pe^t

formundadır. Verilen

M_X(t) = 0,7 + 0,3e^t

ifadesinden

p = 0,3

olduğu görülür.

2

Varyans formülünü uygulama

Var(X) = 0,3 \times 0,7 = 0,21

Bernoulli dağılımına sahip bir rastgele değişken için varyans

Var(X) = p(1-p)

şeklinde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımında parametre tespiti ve varyans hesaplaması.

Alternatif Yöntem

Varyans,

E[X^2] - (E[X])^2

formülü ile de bulunabilir.

X

sadece 0 ve 1 değerlerini aldığı için

X^2 = X

olur. Bu durumda

E[X^2] = E[X] = p

olur. Varyans ise

p - p^2 = p(1-p)

olarak türetilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 14Soru →

Bir kamu personeli seçme sınavında sorulan bir sorunun aday tarafından doğru cevaplanma olasılığı $p = 0,25$ olarak verilmiştir. Bu başarı durumunu temsil eden $X$ rastgele değişkeninin Bernoulli dağılımına sahip olduğu bilindiğine göre, bu değişkenin varyansı ( $Var(X)$ ) ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Var(X) = 0,1875

;

M_X(t) = 0,75 + 0,25e^t

Var(X) = 0,0625

;

M_X(t) = 0,25 + 0,75e^t

Var(X) = 0,5000

;

M_X(t) = 0,75 + 0,25e^t

Var(X) = 0,3125

;

M_X(t) = 0,75e^t

Var(X) = 0,2500

;

M_X(t) = 0,25 + 0,75e^t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Var(X) = 0,1875$ ; $M_X(t) = 0,75 + 0,25e^t$

Cevap

Varyans

0,1875

ve moment çıkaran fonksiyon

0,75 + 0,25e^t

olan seçenek doğrudur.

Bernoulli dağılımında varyans

Var(X) = p(1-p)

formülüyle hesaplanır. Soruda verilen

p=0,25

değeri yerine yazıldığında

0,25 \times (1-0,25) = 0,25 \times 0,75 = 0,1875

elde edilir. Moment çıkaran fonksiyon ise

M_X(t) = q + pe^t

şeklindedir ve bu da

0,75 + 0,25e^t

sonucunu verir. Bu iki değerin aynı anda doğru verildiği tek bir seçenek bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Bernoulli dağılımının parametrelerini belirleyin.

p = 0,25

ve

q = 1 - p = 0,75

olarak bulunur.

Dağılımın tüm karakteristik özellikleri başarı (

p

) ve başarısızlık (

q

) olasılıklarına dayanır.

2

Varyans değerini hesaplayın.

Var(X) = p \times q = 0,25 \times 0,75 = 0,1875

.

Bernoulli dağılımında varyans, başarı olasılığı ile başarısızlık olasılığının çarpımına eşittir.

3

Moment çıkaran fonksiyonu (MGF) oluşturun.

M_X(t) = (1-p) + pe^t = 0,75 + 0,25e^t

.

MGF tanımı gereği kesikli bir değişken için

M_X(t) = E[e^{tX}]

üzerinden

q + pe^t

formülüne sahiptir.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımı Parametreleri ve Moment Çıkaran Fonksiyonu

Tahmini Süre:45s

Soru 15Soru →

Bir sigorta şirketi, poliçe başvurularını analiz ederken müşterilerin risk durumunu $M_X(t) = 0,60 + 0,40e^t$ moment çıkaran fonksiyonuna sahip bir $X$ Bernoulli rastgele değişkeni ile modellemektedir. Buna göre, bu rastgele değişkenin varyansı ( $Var(X)$ ) kaçtır?

0,16

0,24

0,40

0,56

0,63

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,24

Cevap

Rastgele değişkenin varyansı 0,24 olarak hesaplanır.

Verilen moment çıkaran fonksiyonu

M_X(t) = (1-p) + pe^t

genel formu ile karşılaştırdığımızda başarı olasılığı

p = 0,40

ve başarısızlık olasılığı

1-p = 0,60

olarak bulunur. Bernoulli dağılımında varyans

Var(X) = p(1-p)

formülüyle hesaplandığından,

0,40 \times 0,60 = 0,24

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Moment çıkaran fonksiyondan başarı olasılığını (

p

) belirleyin.

p = 0,40

Bernoulli dağılımı için moment çıkaran fonksiyon

M_X(t) = (1-p) + pe^t

formundadır.

2

Bernoulli dağılımının varyans formülünü uygulayın.

Var(X) = 0,40 \times (1 - 0,40) = 0,40 \times 0,60 = 0,24

Var(X) = p(1-p)

formülü Bernoulli dağılımının temel özelliğidir.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımı ve Moment Çıkaran Fonksiyon

Soru 16Soru →

Bir ulaşım koordinasyon merkezi tarafından yapılan denetimlerde, rastgele seçilen bir toplu taşıma aracının 'klima arızası yaşama' olasılığı $p = 0,2$ olarak belirlenmiştir. Bu durumu temsil eden (arıza var: 1, arıza yok: 0) $X$ Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

Var(X) = 0,16

;

M_X(t) = 0,8 + 0,2e^t

Var(X) = 0,04

;

M_X(t) = 0,2 + 0,8e^t

Var(X) = 0,24

;

M_X(t) = 0,8 + 0,2e^t

Var(X) = 0,20

;

M_X(t) = 0,2e^t

Var(X) = 0,16

;

M_X(t) = 0,2 + 0,8e^t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Var(X) = 0,16$ ; $M_X(t) = 0,8 + 0,2e^t$

Cevap

Varyansı 0,16 ve moment çıkaran fonksiyonu 0,8 + 0,2e^t olarak verilen seçenek doğrudur.

Verilen

p = 0,2

değeri için başarısızlık olasılığı

q = 0,8

olur. Bernoulli dağılımının temel özellikleri gereği varyans

Var(X) = p \cdot q = 0,16

ve moment çıkaran fonksiyon

M_X(t) = q + p \cdot e^t = 0,8 + 0,2e^t

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirleyin.

p = 0,2

(başarı) ve

q = 1 - 0,2 = 0,8

(başarısızlık).

Bernoulli dağılımında olasılıklar toplamı 1'e eşittir.

2

Varyans formülünü uygulayın.

Var(X) = p \times q = 0,2 \times 0,8 = 0,16

.

Bernoulli dağılımı için varyans, başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımıdır.

3

Moment çıkaran fonksiyon (MGF) formülünü uygulayın.

M_X(t) = q + pe^t = 0,8 + 0,2e^t

.

Bernoulli dağılımının MGF tanımı gereği başarısızlık olasılığı sabit terim, başarı olasılığı ise

e^t

teriminin katsayısıdır.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımı Parametreleri ve Moment Çıkaran Fonksiyonu

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 17Soru →

Bir tarım işletmesinde yeni geliştirilen bir tohumun çimlenme durumu incelenmektedir. Rastgele seçilen bir tohumun çimlenmesi durumu $X=1$ (başarı), çimlenmemesi durumu ise $X=0$ (başarısızlık) ile gösterilmektedir. Bu Bernoulli sürecinde tohumun çimlenme olasılığı $p = 0,10$ ve moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t) = 0,90 + 0,10e^t$ olarak verildiğine göre, $X$ rastgele değişkeninin varyansı kaçtır?

0,01

0,09

0,10

0,11

0,90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,09$

Cevap

Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı

0,09

olarak hesaplanır.

Bernoulli dağılımına sahip bir rastgele değişkenin varyansı

Var(X) = p(1-p)

formülüyle hesaplanır. Soruda başarı olasılığı

p = 0,10

olarak verildiği için, başarısızlık olasılığı

1 - p = 0,90

olur. Bu iki değerin çarpımı olan

0,10 \times 0,90 = 0,09

sonucu doğru varyans değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirleme

p = 0,10

ve

q = 1 - p = 0,90

Soruda verilen başarı olasılığı

p

, Bernoulli dağılımının temel parametresidir.

2

Varyans formülünü uygulama

Var(X) = p \times q = 0,10 \times 0,90

Bernoulli dağılımı için varyans, başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımıdır.

3

Hesaplamayı tamamlama

Var(X) = 0,09

Çarpma işlemi sonucunda varyans değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımında varyans

p(1-p)

değerine eşittir.

Tahmini Süre:45s

Soru 18Soru →

Bir kamu kurumunda istihdam edilen personelin yabancı dil tazminatından yararlanma durumu, başarı olasılığı $p = 0,44$ olan bir Bernoulli dağılımı ile modellenmektedir. Buna göre, rastgele seçilen bir personelin bu tazminatı alma durumunu temsil eden $X$ rastgele değişkeninin ( $X=1$ : Tazminat alıyor, $X=0$ : Tazminat almıyor) varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

0,1936

0,2464

0,4400

0,6336

0,6633

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,2464

Cevap

Bernoulli dağılımının varyansı

0,2464

olarak hesaplanır.

Başarı olasılığı

p=0,44

olan bir Bernoulli dağılımında varyans,

p

ile başarısızlık olasılığı olan

1-p

(

0,56

) değerinin çarpılmasıyla bulunur. Bu işlem sonucunda

0,44 \times 0,56 = 0,2464

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bernoulli dağılımının parametrelerini tanımlayın.

p = 0,44

(başarı) ve

q = 1 - 0,44 = 0,56

(başarısızlık).

Soruda verilen başarı olasılığı

p

parametresidir; başarısızlık olasılığı ise

1-p

ile bulunur.

2

Varyans formülünü belirleyin.

Var(X) = p \times q

veya

Var(X) = p(1-p)

.

Bernoulli dağılımına sahip bir rastgele değişkenin varyansı, başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımına eşittir.

3

Sayısal hesaplamayı gerçekleştirin.

0,44 \times 0,56 = 0,2464

.

Tespit edilen parametreler formülde yerine yazılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımı, yalnızca iki sonuçlu (başarı/başarısızlık) deneyleri modeller. Temel özellikleri:

E[X] = p

,

Var(X) = p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

M_X(t) = (1-p) + pe^t

şeklindedir.

Tahmini Süre:45s

Soru 19Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin 'uzaktan çalışma' sistemine dahil olma durumu, başarı olasılığı $p = 0,70$ olan bir Bernoulli dağılımı ile modellenmektedir. Buna göre, personelin uzaktan çalışma durumunu temsil eden bu rastgele değişkenin varyansı kaçtır?

0,49

0,21

0,70

0,84

1,19

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,21

Cevap

Uzaktan çalışma durumunu temsil eden rastgele değişkenin varyansı 0,21'dir.

Bernoulli dağılımında başarı olasılığı

p

ise, varyans

Var(X) = p \times (1-p)

formülüyle hesaplanır. Burada

p = 0,70

ve başarısızlık olasılığı

q = 1 - 0,70 = 0,30

olduğundan, varyans

0,70 \times 0,30 = 0,21

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametresini belirleyin.

p = 0,70

Soruda uzaktan çalışma olasılığı (başarı olasılığı) doğrudan verilmiştir.

2

Varyans formülünü uygulayın.

Var(X) = p(1-p) = 0,70 \times (1 - 0,70)

Bernoulli dağılımı için varyans, başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımına eşittir.

3

Hesaplamayı tamamlayın.

0,70 \times 0,30 = 0,21

Varyans değerine ulaşmak için çarpma işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımı Parametreleri

Tahmini Süre:45s

Soru 20Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülen dijitalleşme projesi kapsamında, rastgele seçilen bir formun sistem tarafından hatasız bir şekilde onaylanma olasılığı $p = 0,60$ olarak belirlenmiştir. Formun hatasız onaylanması durumu $X = 1$ (başarı) ve hatalı olması durumu $X = 0$ (başarısızlık) şeklinde tanımlandığına göre, bu süreci temsil eden $X$ Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı kaçtır?

0,24

0,36

0,60

0,77

0,96

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,24$

Cevap

Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı

0,24

olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan seçenekteki değer, başarı olasılığı

p=0,60

ile başarısızlık olasılığı

q=0,40

değerlerinin çarpılmasıyla (

0,60 \times 0,40 = 0,24

) elde edilmiştir. Bu, Bernoulli dağılımının varyans tanımına tam olarak uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Parametrelerin belirlenmesi

p = 0,60

ve

q = 1 - p = 0,40

Bernoulli dağılımında başarı olasılığı (

p

) verildiğinde, başarısızlık olasılığı (

q

)

1-p

ile bulunur.

2

Varyans formülünün uygulanması

Var(X) = p \times q = 0,60 \times 0,40

Bernoulli dağılımı için varyans, başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımına eşittir.

3

Sayısal hesaplamanın tamamlanması

Var(X) = 0,24

İlgili çarpma işlemi sonucunda varyans değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımında varyans

Var(X) = p(1-p)

formülü ile hesaplanır ve her zaman

E[X] = p

değerinden küçüktür (eğer

p < 1

ise).

Bernoulli Dağılımı

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm