Bir risk analizi çalışmasında, belirli bir sistemin arıza yapma durumu X indikatör (göster… — KPSS İstatistik

Bir risk analizi çalışmasında, belirli bir sistemin arıza yapma durumu $X$ indikatör (gösterge) rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Sistem arıza yaparsa $X=1$ , yapmazsa $X=0$ değerini almaktadır. Sistemin arıza yapma olasılığı $p$ 'dir ( $0 < p < 1$ ).

Bu sistemin yarattığı finansal etki, $a$ sıfırdan farklı sabit bir reel sayı olmak üzere, $Z = e^{aX}$ üstel dönüşümü ile tanımlanmıştır.

Buna göre, finansal etkiyi temsil eden $Z$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[Z]$ ) ve varyansı ( $Var(Z)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

$E[Z] = 1 - p + p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = p(1-p)(e^a - 1)^2$ Cevap
B
$E[Z] = 1 - p + p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = p(1-p)e^{2a}$
C
$E[Z] = 1 - p + p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = p(1+p)(e^a - 1)^2$
D
$E[Z] = p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = p^2(e^a - 1)^2$
E
$E[Z] = 1 - p + p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = \sqrt{p}(e^a - 1)^2$

Cevap

Z değişkeninin beklenen değeri E[Z] = 1 - p + p e^a ve varyansı Var(Z) = p(1-p)(e^a - 1)^2 olarak bulunur.

Bernoulli dağılımında değişken yalnızca 0 ve 1 değerlerini aldığı için, Z = e^{aX} fonksiyonu da yalnızca e^0=1 (1-p olasılıkla) ve e^a (p olasılıkla) değerlerini alabilir. Beklenen değer basitçe E[Z] = 1*(1-p) + e^a*p olarak hesaplanır. Varyans için Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2 formülü uygulandığında (1-p+pe^{2a}) - (1-p+pe^a)^2 işlemi yapılır. Bu ifadenin (1-p) terimleri ve p kareleri üzerinden tam kareye tamamlanarak sadeleştirilmesiyle p(1-p)(e^a - 1)^2 kesin sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Z = e^{aX} rastgele değişkeninin alabileceği değerleri ve olasılıklarını belirleyin.

X=0 (Olasılık: 1-p) için Z = e^{a(0)} = 1 olur. X=1 (Olasılık: p) için Z = e^{a(1)} = e^a olur.

Sürekli veya ayrık bir değişkenin fonksiyonunun beklenen değerini bulmak için öncelikle fonksiyonun çıktı değerlerinin tanımlanması gerekir.

Z'nin beklenen değerini (E[Z]) hesaplayın.

E[Z] = \sum z \cdot P(Z=z) = 1 \cdot (1-p) + e^a \cdot p = 1 - p + p e^a.

Varyans formülünde (Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2) kullanmak üzere birinci momentin bulunması zorunludur.

Z'nin karesinin beklenen değerini (E[Z^2]) hesaplayın.

Z^2 değişkeni, X=0 için 1^2=1 ve X=1 için (e^a)^2=e^{2a} değerlerini alır. E[Z^2] = 1 \cdot (1-p) + e^{2a} \cdot p = 1 - p + p e^{2a}.

Varyansın temel hesaplama formülü olan E[Z^2] - (E[Z])^2 bağıntısındaki ikinci bileşeni elde etmek içindir.

Varyansı (Var(Z)) hesaplamak için bulduğunuz değerleri yerine koyun ve kare açılımını yapın.

Var(Z) = (1 - p + p e^{2a}) - (1 - p + p e^a)^2 = (1 - p + p e^{2a}) - ((1-p)^2 + 2p(1-p)e^a + p^2 e^{2a}).

İki momentin farkı, Z rastgele değişkeninin ortalamadan sapmalarının karesel ortalamasını verir.

Cebirsel ifadeyi sadeleştirerek nihai formata dönüştürün.

(1-p) - (1-p)^2 = (1-p)(1 - (1-p)) = p(1-p) elde edilir. Ayrıca pe^{2a} - p^2e^{2a} = p(1-p)e^{2a} olur. İfade p(1-p) + p(1-p)e^{2a} - 2p(1-p)e^a şekline gelir. p(1-p) parantezinde (1 - 2e^a + e^{2a}) tam karesi oluşur. Sonuç: p(1-p)(e^a - 1)^2.

Seçeneklerdeki şıklarla eşleşebilmesi için ifadenin çarpanlara ayrılmış en sade halinin bulunması gerekir.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımına sahip bir değişkenin üstel dönüşümünde (moment çıkaran fonksiyon yapısında) beklenen değer ve varyans hesaplaması

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru