Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBernoulli Dağılımı

Yalnızca 00 ve 11 değerlerini alabilen kesikli bir XX rastgele değişkeni için, moment çıkaran fonksiyonun t=0t=0 noktasındaki birinci türevinin MX′(0)=pM'_X(0) = p olduğu (burada 0<p<10 < p < 1) bilinmektedir.

Bu rastgele değişkenin sadece iki farklı değer alabildiği gerçeği göz önüne alındığında, XX'in varyansı (Var(X)Var(X)) ve genel moment çıkaran fonksiyonu (MX(t)M_X(t)) aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru olarak verilmiştir?

  1. Var(X)=p(1−p)Var(X) = p(1-p) ve MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^tCevap
  2. B
    Var(X)=p2Var(X) = p^2 ve MX(t)=p+(1−p)etM_X(t) = p + (1-p)e^t
  3. C
    Var(X)=p(1+p)Var(X) = p(1+p) ve MX(t)=(1−p)+pe−tM_X(t) = (1-p) + pe^{-t}
  4. D
    Var(X)=pVar(X) = \sqrt{p} ve MX(t)=(1−p)e−t+petM_X(t) = (1-p)e^{-t} + pe^t
  5. E
    Var(X)=p(1−p)Var(X) = p(1-p) ve MX(t)=pet+(1−p)e−tM_X(t) = pe^t + (1-p)e^{-t}

Cevap

Varyansın p(1−p)p(1-p) ve moment çıkaran fonksiyonun (1−p)+pet(1-p) + pe^t olarak verildiği seçenektir.
Verilen XX rastgele değişkeni yalnızca 00 ve 11 değerlerini alabildiğinden, parametresi pp olan bir Bernoulli dağılımına sahiptir. Moment çıkaran fonksiyonun türevinden hareketle E[X]=pE[X] = p olarak bulunmuştur. X2=XX^2 = X özelliğinden ötürü ikinci ham moment de E[X2]=pE[X^2] = p olur ve varyans Var(X)=E[X2]−(E[X])2=p(1−p)Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p(1-p) olarak hesaplanır. Moment çıkaran fonksiyon ise temel beklenti denkleminden E[etX]=(1−p)e0+pet=(1−p)+petE[e^{tX}] = (1-p)e^{0} + pe^{t} = (1-p) + pe^t biçiminde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
XX değişkeninin alabileceği değerleri ve beklenen değerini belirleme.
X∈{0,1}X \in \{0, 1\} ve MX′(0)=E[X]=pM'_X(0) = E[X] = p.
Moment çıkaran fonksiyonun birinci türevinin t=0t=0'daki değeri, istatistiksel teorem gereği değişkenin beklenen değerini (birinci ham momentini) verir.
2
XX'in olasılık fonksiyonunu (PMF) oluşturma.
X=1X=1 durumu için P(X=1)=pP(X=1) = p ve X=0X=0 durumu için P(X=0)=1−pP(X=0) = 1-p.
Değişken sadece 00 ve 11 değerlerini aldığından E[X]=0⋅P(X=0)+1⋅P(X=1)=pE[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) = p eşitliğini sağlaması için başarının olasılığı pp olmalıdır. Bu yapı Bernoulli dağılımını tanımlar.
3
Varyansı bulmak için ikinci ham momenti (E[X2]E[X^2]) hesaplama.
X∈{0,1}X \in \{0, 1\} olduğu için X2=XX^2 = X olacaktır. Buradan E[X2]=E[X]=pE[X^2] = E[X] = p elde edilir.
Yalnızca 00 ve 11 değerlerini alan gösterge (indicator) değişkenlerin her kuvveti kendisine eşittir.
4
Varyans formülünü uygulama.
Var(X)=E[X2]−(E[X])2=p−p2=p(1−p)Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p).
Varyansın temel tanımı kullanılarak hesaplama tamamlanır.
5
Moment çıkaran fonksiyonu tanımdan türetme.
MX(t)=E[etX]=et⋅0(1−p)+et⋅1p=(1−p)+petM_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0}(1-p) + e^{t \cdot 1}p = (1-p) + pe^t.
MX(t)M_X(t) genel beklenti operatörü altındaki tanımına doğrudan olasılık kütle fonksiyonu değerlerinin yazılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımının Moment Çıkaran Fonksiyon Üzerinden Teorik Türetimi
Bu soruyu puanla

Konular

Bernoulli Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru