Bir ulaştırma planlama uzmanı, bir otoyol kesimindeki ortalama seyir hızı (Y, km/saat) ile… — KPSS İstatistik

Bir ulaştırma planlama uzmanı, bir otoyol kesimindeki ortalama seyir hızı ( $Y$ , km/saat) ile trafik yoğunluğu ( $X$ , araç/km) arasındaki ilişkiyi modellemek istemektedir. Uzman, yoğunluk arttıkça hızın belirli bir minimum değere (tam sıkışıklık anındaki sürünme hızı) asimptotik olarak yaklaşacağını teorik olarak öngörmüş ve aşağıdaki modeli kurmuştur:

Y_i = \beta_0 + \beta_1 \left(\frac{1}{X_i}\right) + u_i

Model, $Z_i = \frac{1}{X_i}$ dönüşümü yapılarak sıradan EKK (En Küçük Kareler) yöntemiyle tahmin edilmiş ve $\hat{Y}_i = 12 + 1800 Z_i$ tahmini regresyon denklemi elde edilmiştir. Ayrıca katsayıların istatistiksel anlamlılıkları da sınanmıştır.

Bu araştırmanın sonuçları ve kullanılan ters (hiperbolik) modelin matematiksel özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A
Model, $X$ 'e göre doğrusal olmayan bir ilişkiyi temsil ettiğinden, elde edilen EKK tahmincileri sapmasızlık özelliğini korusa da Gauss-Markov teoremine göre en küçük varyanslı (etkin) olma özelliklerini yitirir.
B
Dönüştürülmüş modelde 1800 olarak hesaplanan katsayının istatistiksel olarak anlamlılığını sınamak için F-testi kullanılmalı, t-testi ise sadece modelin bütünsel anlamlılığına karar vermek için uygulanmalıdır.
Trafik yoğunluğu ( $X$ ) süresiz olarak arttığında ortalama seyir hızının ( $Y$ ) yaklaşacağı teorik alt sınır 12 km/saat'tir ve yoğunluktaki artışın hız üzerindeki anlık marjinal etkisi $-\frac{1800}{X^2}$ olup, yoğunluk arttıkça bu etkinin mutlak değeri azalır.Cevap
D
Trafik yoğunluğu ( $X$ ) sonsuza doğru arttığında, bağımlı değişkenin ( $Y$ ) yaklaşacağı asimptotik limit değeri, modelin katsayıları toplamı olan 1812 km/saat'tir.
E
Modelde $Z_i = 1/X_i$ biçiminde bir değişken dönüşümü uygulandığı için, regresyonun standart hatası (ve hata varyansı) hesaplanırken Hata Kareler Toplamı $n-2$ yerine $n-1$ serbestlik derecesine bölünmelidir.

Cevap

Doğru olan ifade, asimptotik sınır değerinin 12 km/saat olduğu ve anlık marjinal etkinin

-1800/X^2

formülü ile ifade edilerek yoğunluk arttıkça zayıfladığını belirten seçenektir.

Verilen modelde, trafik yoğunluğu (

X

) sonsuza yaklaştığında

1/X

ifadesi sıfıra gider ve seyir hızı (

Y

) denklemdeki sabit terime, yani 12'ye yaklaşır. Bu değer teorik alt sınırdır (asimptot). Marjinal etki, bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre türevidir.

\hat{Y}_i = 12 + 1800 X_i^{-1}

ifadesinin türevi alındığında

-\frac{1800}{X^2}

elde edilir. Bu ifade negatiftir ve

X

değişkeni paydada yer aldığı için,

X

büyüdükçe etkinin mutlak büyüklüğü azalır. Bu nedenle asimptot limitini ve marjinal etkiyi doğru tanımlayan ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Modelin asimptotik limit değerini (X sonsuza giderken Y'nin alacağı değer) hesapla.

\lim_{X \to \infty} \left( 12 + \frac{1800}{X} \right) = 12 + 0 = 12

. Limit 12 km/saattir.

Ters (hiperbolik) modellerde bağımsız değişken sonsuza büyüdüğünde,

1/X

terimi sıfıra yaklaşır ve bağımlı değişken sabit terime (

\beta_0

) asimptotik olarak yaklaşır.

X'in Y üzerindeki marjinal etkisini belirlemek için modelin X'e göre türevini al.

\frac{dY}{dX} = \frac{d}{dX} \left( 12 + 1800X^{-1} \right) = -1800X^{-2} = -\frac{1800}{X^2}

Marjinal etki, bağımsız değişkendeki anlık değişimin bağımlı değişken üzerindeki etkisidir ve birinci mertebeden türev ile bulunur.

Bulunan marjinal etkinin yoğunluk (

X

) arttıkça nasıl değiştiğini analiz et.

Paydadaki

X^2

terimi

X

büyüdükçe artacağı için, kesrin bütününün mutlak değeri küçülür.

Matematiksel olarak, paydası büyüyen bir negatif kesrin değeri sıfıra yaklaşır, bu da trafik yoğunluğunun hız üzerindeki azaltıcı etkisinin yoğunluk arttıkça (trafik zaten durma noktasına geldiği için) giderek zayıfladığını gösterir.

Diğer seçeneklerde yer alan teorik iddiaları doğrusal regresyon varsayımları çerçevesinde değerlendir.

Gauss-Markov teoremi parametre doğrusallığına bakar (model etkindir). Serbestlik derecesi parametre sayısına bağlıdır (

n-2

). Bireysel katsayılar F ile değil t-testi ile sınanır.

Çeldirici seçeneklerde sunulan istatistiksel yargıların tümü ekonometrik teorinin temel kavram yanılgılarını içermektedir.

Anahtar Kavram

Ters (Hiperbolik) Regresyon Modellerinde Asimptotik Limit ve Marjinal Etki

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru