Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTers (Hiperbolik) Modeller

Bir çevre mühendisi, bir sanayi tesisinden uzaklaştıkça (XX, kilometre), havadaki partikül madde konsantrasyonunun (YY, μg/m3\mu g/m^3) azaldığını, ancak belli bir mesafeden sonra doğadaki arka plan seviyesine sabitlendiğini varsaymaktadır.

Araştırmacı bu ilişkiyi Yi=β0+β1(1Xi)+uiY_i = \beta_0 + \beta_1 \left(\frac{1}{X_i}\right) + u_i biçimindeki ters (hiperbolik) regresyon modeli ile En Küçük Kareler (EKK) yöntemini kullanarak tahmin etmek üzere n=25n = 25 gözlem derlemiş ve modele Zi=1XiZ_i = \frac{1}{X_i} dönüşümü uygulayarak aşağıdaki istatistikleri hesaplamıştır:

∑i=125Yi=800 \sum_{i=1}^{25} Y_i = 800
∑i=125Zi=5 \sum_{i=1}^{25} Z_i = 5
∑i=125(Zi−Zˉ)2=0,5 \sum_{i=1}^{25} (Z_i - \bar{Z})^2 = 0,5
∑i=125(Zi−Zˉ)(Yi−Yˉ)=40 \sum_{i=1}^{25} (Z_i - \bar{Z})(Y_i - \bar{Y}) = 40
∑i=125u^i2=460 (Hata kareler toplamı) \sum_{i=1}^{25} \hat{u}_i^2 = 460 \text{ (Hata kareler toplamı)}

Buna göre, tahmin edilen modelin sonuçlarıyla ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. A
    Tesisden uzaklık (XX) 11 kilometre arttığında, partikül madde konsantrasyonu (YY) uzaklıktan bağımsız olarak sabit 80μg/m380 \mu g/m^3 azalmaktadır.
  2. B
    Sanayi tesisinden sonsuz uzaklıktaki bir noktada (asimptotik sınır), modelin öngördüğü partikül madde konsantrasyonu 80μg/m380 \mu g/m^3'tür.
  3. C
    Tesisden 22 kilometre uzaklıktaki bir noktada partikül madde konsantrasyonunun uzaklığa göre anlık değişim hızı (marjinal etki) −40μg/m3-40 \mu g/m^3'tür.
  4. Sanayi tesisinden sonsuz uzaklıktaki bir bölgede (asimptotik sınır), modelin öngördüğü partikül madde konsantrasyonu 16μg/m316 \mu g/m^3'tür.Cevap
  5. E
    EKK yöntemine göre modelin hata varyansı (σ^2\hat{\sigma}^2) tahmini 18,418,4'tür.

Cevap

Sanayi tesisinden sonsuz uzaklıktaki bir bölgede (asimptotik sınır), modelin öngördüğü partikül madde konsantrasyonu 16μg/m316 \mu g/m^3'tür.
Ters (hiperbolik) regresyon modellerinde (Y^=β^0+β^1/X\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1/X), bağımsız değişken XX sonsuza gittiğinde 1/X1/X sıfıra yaklaşır ve bağımlı değişken asimptotik olarak β^0\hat{\beta}_0 kesişim parametresine eşit olur. Yapılan EKK tahminlerinde β^0=16\hat{\beta}_0 = 16 bulunduğundan, sonsuz uzaklıktaki partikül konsantrasyon limiti matematiksel olarak 16μg/m316 \mu g/m^3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Eğim parametresinin (β^1\hat{\beta}_1) hesaplanması.
β^1=400,5=80\hat{\beta}_1 = \frac{40}{0,5} = 80 elde edilir.
Dönüştürülmüş ZZ değişkeni kullanılarak EKK eğim formülü β^1=∑(Zi−Zˉ)(Yi−Yˉ)/∑(Zi−Zˉ)2\hat{\beta}_1 = \sum (Z_i - \bar{Z})(Y_i - \bar{Y}) / \sum (Z_i - \bar{Z})^2 uygulanır.
2
Kesişim parametresinin (β^0\hat{\beta}_0) hesaplanması.
Önce ortalamalar (Yˉ=800/25=32\bar{Y} = 800/25 = 32, Zˉ=5/25=0,2\bar{Z} = 5/25 = 0,2) hesaplanır. Ardından β^0=32−(80×0,2)=16\hat{\beta}_0 = 32 - (80 \times 0,2) = 16 bulunur.
Regresyon doğrusu ortalamalar noktasından geçmek zorundadır, bu nedenle β^0=Yˉ−β^1Zˉ\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{Z} formülü kullanılır.
3
Modelin asimptotik limitinin belirlenmesi.
Mesafe (XX) sonsuza giderken Y^\hat{Y} tahmini 16μg/m316 \mu g/m^3'e yakınsar.
Ters modelde X→∞X \to \infty için 1/X→01/X \to 0 olur ve tahmini bağımlı değişken doğrudan β^0\hat{\beta}_0 değerine eşitlenir.
4
Çeldirici seçeneklerdeki marjinal etki ve hata varyansının test edilmesi.
X=2X=2 için marjinal etki −80/22=−20-80/2^2 = -20; hata varyansı σ^2=460/23=20\hat{\sigma}^2 = 460/23 = 20 olarak bulunur.
Marjinal etki dY^/dX=−β^1/X2d\hat{Y}/dX = -\hat{\beta}_1/X^2 ile, hata varyansı ise serbestlik derecesi (n−2n-2) olan 2323'e bölünerek elde edilir.

Anahtar Kavram

Ters (Hiperbolik) Regresyon Modellerinde Parametre Tahmini, Asimptotik Limit ve Marjinal Etki
Bu soruyu puanla

Konular

Ters (Hiperbolik) Modeller

Bu konudan daha fazla soru