Examkin

Soru

Zorluk: ZorOran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Koşulları

Büyük ölçekli bir tarım sayımında, işletmelerin yıllık üretim miktarları (yy) tahmin edilirken, işletme büyüklükleri (xx) yardımcı değişken olarak modele dâhil edilmiş ve oran tahminleyicisi (yˉR\bar{y}_R) kullanılmasına karar verilmiştir.

Araştırma planlama kurulu, tercih edilen bu oran tahminleyicisinin, yardımcı değişken kullanılmadan sadece üretim miktarlarıyla hesaplanan basit aritmetik ortalama tahminleyicisine (yˉ\bar{y}) kıyasla istatistiksel olarak daha etkin (daha küçük varyanslı) sonuçlar üretmesini şart koşmuştur.

İlgilenilen ve yardımcı değişkenlerin değişim katsayıları sırasıyla CyC_y ve CxC_x, bu iki değişken arasındaki evren korelasyon katsayısı ise ρ\rho ile gösterilmektedir.

Buna göre, kurulun belirlediği etkinlik şartının sağlanabilmesi için değişkenler arasındaki ilişkinin aşağıdaki eşitsizliklerden hangisini sağlaması zorunludur?

  1. ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y}Cevap
  2. B
    ρ>2CxCy\rho > \frac{2C_x}{C_y}
  3. C
    ρ>Cy2Cx\rho > \frac{C_y}{2C_x}
  4. D
    ρ>2CyCx\rho > \frac{2C_y}{C_x}
  5. E
    ρ>CxCy\rho > \frac{C_x}{C_y}

Cevap

Oran tahminleyicisinin daha etkin olabilmesi için sağlanması gereken koşul ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y} eşitsizliğidir.
Oran tahminleyicisinin, basit aritmetik ortalama tahminleyicisine göre daha küçük varyansa sahip (daha etkin) olabilmesi için V(yˉR)<V(yˉ)V(\bar{y}_R) < V(\bar{y}) koşulu sağlanmalıdır. Bu eşitsizlik matematiksel olarak sadeleştirildiğinde ve değişim katsayıları cinsinden yazıldığında, iki değişken arasındaki korelasyon katsayısının ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y} sınırından büyük olması gerektiği ispatlanır. Bu durum, yardımcı değişken kullanılmasının ancak güçlü ve pozitif bir korelasyon varlığında avantaj sağlayacağını gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Basit aritmetik ortalama tahminleyicisi (yˉ\bar{y}) ile oran tahminleyicisinin (yˉR\bar{y}_R) varyans formülleri yazılarak V(yˉR)<V(yˉ)V(\bar{y}_R) < V(\bar{y}) eşitsizliği kurulur.
Etkinlik şartı matematiksel olarak ifade edilmiş olur.
Daha küçük varyans, istatistiksel olarak daha kesin ve etkin bir tahminleyici anlamına gelmektedir.
2
Oran tahminleyicisinin varyans yaklaşımındaki terimler yerine konularak Sy2+R2Sx2−2RρSxSy<Sy2S_y^2 + R^2 S_x^2 - 2 R \rho S_x S_y < S_y^2 denklemi çözülür ve sadeleştirilir.
R2Sx2<2RρSxSyR^2 S_x^2 < 2 R \rho S_x S_y ifadesine ulaşılır.
Her iki taraftaki kitle varyansı (Sy2S_y^2) terimlerinin birbirini götürmesiyle ilişki daha net görülür.
3
Eşitsizlikte oran (R=Yˉ/XˉR = \bar{Y}/\bar{X}) ve değişim katsayısı (Cx=Sx/XˉC_x = S_x/\bar{X}, Cy=Sy/YˉC_y = S_y/\bar{Y}) dönüşümleri yapılarak ρ\rho yalnız bırakılır.
Korelasyon katsayısı için ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y} koşulu elde edilir.
Değişkenlerin varyansları yerine ölçekten bağımsız olan değişim katsayıları kullanılarak genel geçer bir kurala varılmak istenmektedir.

Anahtar Kavram

Oran Tahminleyicisinin Etkinliği
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Oran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Koşulları

Bu konudan daha fazla soru