Examkin

Soru

Zorluk: KolayOran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Koşulları

Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla kullanılan oran tahminleyicisinin (yˉR\bar{y}_R), basit aritmetik ortalamaya (yˉ\bar{y}) göre istatistiksel olarak daha etkin bir sonuç vermesi için gerekli olan temel koşul aşağıdakilerden hangisidir? (Burada CyC_y ve CxC_x sırasıyla ilgilenilen ve yardımcı değişkenin değişim katsayılarını, ρ\rho ise iki değişken arasındaki korelasyon katsayısını temsil etmektedir.)

  1. ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y}Cevap
  2. B
    ρ>2CxCy\rho > \frac{2C_x}{C_y}
  3. C
    ρ>Cy2Cx\rho > \frac{C_y}{2C_x}
  4. D
    ρ>2CyCx\rho > \frac{2C_y}{C_x}
  5. E
    ρ>Cx⋅Cy\rho > C_x \cdot C_y

Cevap

Oran tahminleyicisinin basit aritmetik ortalamaya göre daha etkin olması için ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y} koşulu sağlanmalıdır.
Oran tahminleyicisinin varyans formülünde yer alan Cx2−2ρCyCxC_x^2 - 2\rho C_y C_x terimi negatif olduğu sürece, oran tahminleyicisi basit aritmetik ortalamadan daha küçük varyansa sahip olur. Bu durum matematiksel olarak düzenlendiğinde korelasyonun Cx2Cy\frac{C_x}{2C_y} değerinden büyük olması gerektiği sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahminleyicilerin varyans formüllerini karşılaştırın.
V(yˉR)<V(yˉ)V(\bar{y}_R) < V(\bar{y}) eşitsizliği kurulur.
Etkinlik, bir tahminleyicinin varyansının diğerinden daha küçük olması durumudur.
2
Varyans ifadelerini açık formda yazın.
1−fnYˉ2(Cy2+Cx2−2ρCyCx)<1−fnYˉ2Cy2\frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 (C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_y C_x) < \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 C_y^2
Büyük örneklemlerde oran tahminleyicisinin yaklaşık varyans formülü kullanılır.
3
Eşitsizliği sadeleştirin.
Cy2+Cx2−2ρCyCx<Cy2⇒Cx2<2ρCyCxC_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_y C_x < C_y^2 \Rightarrow C_x^2 < 2\rho C_y C_x
Ortak terimler her iki taraftan çıkarılır.
4
Korelasyon katsayısını (ρ\rho) yalnız bırakın.
ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y}
İfadenin her iki tarafı 2CyCx2C_y C_x değerine bölünerek nihai koşula ulaşılır.

Anahtar Kavram

Oran tahminleyicisinin etkinliği, yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki güçlü ve pozitif bir korelasyona bağlıdır.

İpuçları

1
Oran tahminleyicisinin varyans formülündeki ek terimlerin toplamının negatif olması gerekir.
2
V(yˉR)≈V(yˉ)+sabit⋅(Cx2−2ρCyCx)V(\bar{y}_R) \approx V(\bar{y}) + \text{sabit} \cdot (C_x^2 - 2\rho C_y C_x) ilişkisini düşünün.

Daha Fazla Pratik

Regresyon tahminleyicisinin her zaman oran tahminleyicisinden daha etkin olduğu durumları inceleyin.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Oran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Koşulları

Bu konudan daha fazla soru