Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Koşulları

Basit rastgele örneklemede, kitle ortalamasının tahmini için yardımcı değişken bilgisinden yararlanan oran tahminleyicisinin (yˉR\bar{y}_R), basit aritmetik ortalama tahminleyicisinden (yˉ\bar{y}) daha etkin olması beklenmektedir. İlgilenilen değişken yy ve yardımcı değişken xx arasındaki korelasyon katsayısı ρ\rho, değişkenlerin değişim katsayıları ise sırasıyla CyC_y ve CxC_x ile gösterilmektedir.

Buna göre, oran tahminleyicisinin basit aritmetik ortalamaya göre daha etkin (daha küçük varyanslı) olabilmesi için sağlanması gereken yaklaşık koşul aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y}Cevap
  2. B
    ρ>Cy2Cx\rho > \frac{C_y}{2C_x}
  3. C
    ρ>2CxCy\rho > \frac{2C_x}{C_y}
  4. D
    ρ<Cx2Cy\rho < \frac{C_x}{2C_y}
  5. E
    ρ>CxCy\rho > \frac{C_x}{C_y}

Cevap

Oran tahminleyicisinin basit aritmetik ortalamadan daha etkin olması için gereken yaklaşık koşul ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y} ifadesidir.
Oran tahminleyicisinin varyansı yaklaşık olarak V(yˉR)≈V(yˉ)+1−fn(R2Sx2−2RρSxSy)V(\bar{y}_R) \approx V(\bar{y}) + \frac{1-f}{n} (R^2 S_x^2 - 2R \rho S_x S_y) şeklinde yazılabilir. Bu ifadenin V(yˉ)V(\bar{y})'den küçük olması için R2Sx2−2RρSxSy<0R^2 S_x^2 - 2R \rho S_x S_y < 0 olmalıdır. Değişim katsayıları cinsinden sadeleştirildiğinde bu durum ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y} koşuluna dönüşür.

Adım Adım Çözüm

1
Tahminleyicilerin varyans formüllerini karşılaştırın.
V(yˉR)≈1−fnYˉ2[Cy2+Cx2−2ρCyCx]V(\bar{y}_R) \approx \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 [C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_y C_x] ve V(yˉ)=1−fnYˉ2Cy2V(\bar{y}) = \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 C_y^2
Etkinlik kıyaslaması varyansların büyüklüğüne göre yapılır.
2
Oran tahminleyicisinin varyansının daha küçük olması koşulunu (V(yˉR)<V(yˉ)V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})) kurun.
Cy2+Cx2−2ρCyCx<Cy2C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_y C_x < C_y^2
Sadeleştirme için ortak çarpanlar elenir.
3
Eşitsizliği ρ\rho için çözün.
Cx2<2ρCyCx⇒Cx<2ρCy⇒ρ>Cx2CyC_x^2 < 2\rho C_y C_x \Rightarrow C_x < 2\rho C_y \Rightarrow \rho > \frac{C_x}{2C_y}
Korelasyon katsayısının sağlaması gereken alt sınırı belirlemek için.

Anahtar Kavram

Oran tahminleyicisi, ancak yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasında yeterince yüksek ve pozitif bir korelasyon varsa basit ortalamadan daha etkin sonuç verir.
Bu soruyu puanla

Konular

Oran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Koşulları

Bu konudan daha fazla soru