p başarı olasılığına sahip bir Bernoulli kitlesinden n=2 birimlik bağımsız bir rastgele ör… — KPSS İstatistik

$p$ başarı olasılığına sahip bir Bernoulli kitlesinden $n=2$ birimlik bağımsız bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2$ ) seçilmiştir. $p$ parametresini tahmin etmek için $T = X_1$ yansız tahmin edicisi kullanılmaktadır. $S = X_1 + X_2$ istatistiğinin $p$ parametresi için yeterli olduğu bilinmektedir.

Rao-Blackwell teoremi uygulanarak elde edilen geliştirilmiş tahmin edici $T^* = E[T|S]$ için varyans değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{p(1-p)}{2}$ Cevap
B
$p(1-p)$
C
$\frac{p(1-p)}{4}$
D
$\frac{p}{2}$
E
$2p(1-p)$

Cevap

Geliştirilmiş tahmin edicinin varyansı

\frac{p(1-p)}{2}

ifadesine eşittir.

Rao-Blackwell teoremi uyarınca

T^* = E[X_1 | X_1 + X_2]

işlemi yapıldığında elde edilen tahmin edici

\bar{X} = (X_1+X_2)/2

olur. Bağımsız Bernoulli değişkenleri için örneklem ortalamasının varyansı

Var(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n}

formülü ile hesaplanır; burada

n=2

olduğu için sonuç

\frac{p(1-p)}{2}

olur.

Adım Adım Çözüm

Orijinal tahmin edicinin varyansını hesapla

Var(T) = Var(X_1) = p(1-p)

Bernoulli dağılımında varyans

p(1-p)

formülü ile hesaplanır.

Rao-Blackwell tahmin edicisini (

T^*

) belirle

T^* = E[X_1 | X_1 + X_2] = \frac{X_1 + X_2}{2}

Simetri özelliğinden dolayı, toplam verildiğinde her bir gözlemin beklenen değeri ortalamaya eşit olur.

T^*

tahmin edicisinin varyansını hesapla

Var(T^*) = Var\left(\frac{X_1 + X_2}{2}\right) = \frac{1}{4} [Var(X_1) + Var(X_2)] = \frac{2p(1-p)}{4} = \frac{p(1-p)}{2}

Bağımsız değişkenlerin toplamının varyansı, varyansların toplamına eşittir ve sabit çarpan dışarı karesi alınarak çıkar.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell teoremi, yansız bir tahmin edicinin yeterli bir istatistik üzerine koşullandırılmasıyla varyansın azaltılabileceğini (veya aynı kalacağını) ifade eder.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru