Bir bakanlık, yerel yönetimlerin sunduğu projeleri üç farklı teşvik fonu kapsamında değerl… — KPSS İstatistik

Bir bakanlık, yerel yönetimlerin sunduğu projeleri üç farklı teşvik fonu kapsamında değerlendirmektedir: Altyapı ( $A$ ), İstihdam ( $B$ ) ve Çevre ( $C$ ).

İncelenen projeler için aşağıdaki olasılıklar belirlenmiştir:
- Bir projenin Altyapı fonu alma olasılığı $0,40$ 'tır.
- Bir projenin İstihdam fonu alma olasılığı $0,30$ 'dur.
- Bir projenin Çevre fonu alma olasılığı $0,35$ 'tir.

Mevzuat gereği, bir proje aynı anda hem Altyapı hem de İstihdam fonundan yararlanamamaktadır. Bununla birlikte, bir projenin hem Altyapı hem de Çevre fonu alma olasılığı $0,15$ ; hem İstihdam hem de Çevre fonu alma olasılığı ise $0,10$ olarak hesaplanmıştır.

Bu bilgilere göre, rastgele seçilen bir projenin hiçbir fon alamama olasılığı kaçtır?

A
$0,80$
B
$0,32$
$0,20$ Cevap
D
$0,27$
E
$0,30$

Cevap

Doğru değer

0,20

'dir. Üç fon olayının birleşim olasılığı hesaplanıp

1

'den çıkarılmalıdır.

Doğru yanıt olan

0,20

, üç olayın birleşim kümesinin tümleyeninin olasılığıdır. Mevzuatta belirtilen "Altyapı ve İstihdam fonu aynı anda alınamaz" ifadesi,

A

B

olaylarının ayrık (kesişimi boş küme) olduğunu belirtir; dolayısıyla

P(A \cap B) = 0

alınmalıdır. İçerme-Dışarma prensibine göre en az bir fon alma olasılığı

P(A \cup B \cup C) = 0,40 + 0,30 + 0,35 - 0 - 0,15 - 0,10 = 0,80

olarak bulunur. Hiçbir fon alamama durumu bunun tümleyeni olduğu için

1 - 0,80 = 0,20

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Verilen olasılık değerlerini matematiksel notasyona dönüştürün.

P(A) = 0,40

P(B) = 0,30

P(C) = 0,35

. Kesişimler:

P(A \cap C) = 0,15

P(B \cap C) = 0,10

Olayları modellemek ve formülde yerine koyulacak parametreleri belirlemek için gereklidir.

Ayrık olaylar kuralını tanımlayın.

Altyapı ve İstihdam fonları aynı anda alınamadığı için bu olaylar ayrıktır. Bu nedenle

P(A \cap B) = 0

ve dolayısıyla

P(A \cap B \cap C) = 0

olur.

Olasılık fonksiyonu aksiyomlarına göre (Kolmogorov), kesişimleri boş küme olan ayrık olayların birlikte gerçekleşme olasılığı sıfırdır.

İçerme-Dışarma Prensibini kullanarak projenin en az bir fon alma olasılığını (birleşim) hesaplayın.

P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)

formülünden

0,40 + 0,30 + 0,35 - 0 - 0,15 - 0,10 + 0 = 0,80

bulunur.

Örnek uzaydaki kesişen olayların toplam olasılığını doğru bulmak için çift sayılan kesişim bölgelerinin çıkarılması gerekir.

Hiçbir fon alamama olasılığını bulmak için tümleyen (kompleman) kuralını uygulayın.

P((A \cup B \cup C)^c) = 1 - P(A \cup B \cup C) = 1 - 0,80 = 0,20

Olasılık aksiyomlarına göre, bir olayın gerçekleşmeme olasılığı

1

eksi olayın gerçekleşme olasılığıdır.

Anahtar Kavram

Aksiyomatik Olasılık ve İçerme-Dışarma Prensibi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru