Bir (\Omega, \mathcal{F}, P) olasılık uzayında, (A_n)_{n=1}^{\infty} azalan bir olaylar di… — KPSS İstatistik

Bir $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ olasılık uzayında, $(A_n)_{n=1}^{\infty}$ azalan bir olaylar dizisini ( $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \dots$ ) göstermektedir.

Her $n \geq 1$ için, $A_n$ olayının olasılığı $P(A_n) = \frac{3n+2}{8n+1}$ olarak verilmiştir.

$B = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$ olmak üzere; $B$ olayı ile örnek uzaydaki başka bir $C$ olayı için aşağıdaki olasılıklar bilinmektedir:
- $P(B \cup C) = \frac{5}{6}$
- $P(B \cap C) = \frac{1}{8}$

Buna göre, $B$ olayının gerçekleşmediği bilindiğine göre $C$ olayının gerçekleşme olasılığı kaçtır?

A
$\frac{1}{3}$
B
$\frac{11}{24}$
C
$\frac{7}{12}$
$\frac{11}{15}$ Cevap
E
$\frac{11}{14}$

Cevap

İstenen olasılık değeri

\frac{11}{15}

'tir.

Soruda iki temel olasılık teorisi prensibi sınanmaktadır. İlk olarak, azalan bir dizinin sonsuz kesişiminin olasılığı, dizinin olasılıklarının limitine eşittir (Süreklilik aksiyomu). Buradan

P(B) = \lim_{n \to \infty} \frac{3n+2}{8n+1} = \frac{3}{8}

bulunur. İkinci adımda, 'B'nin gerçekleşmediği bilindiğine göre C'nin gerçekleşme olasılığı' olan

P(C | B^c)

istenmektedir. Bunun için

P(C \cap B^c)

değeri,

P(B \cup C) = P(B) + P(C \cap B^c)

ayrık birleşim özelliği ile

\frac{5}{6} - \frac{3}{8} = \frac{11}{24}

olarak hesaplanır. Son olarak koşullu olasılık denkleminde bu değer

P(B^c) = \frac{5}{8}

ile oranlanır ve

\frac{11/24}{5/8} = \frac{11}{15}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Olasılığın süreklilik aksiyomunu kullanarak B olayının olasılığını hesaplamak

P(B) = \frac{3}{8}

A_n

azalan bir olaylar dizisi olduğundan,

B

kümesi bu dizinin sonsuz kesişimidir. Olasılık fonksiyonunun süreklilik aksiyomu gereği

P(B) = \lim_{n \to \infty} P(A_n)

olur.

\lim_{n \to \infty} \frac{3n+2}{8n+1} = \frac{3}{8}

olarak bulunur.

Koşullu olasılık için pay kısmında gerekli olan kesişim (

C \cap B^c

) olasılığını bulmak

P(C \cap B^c) = \frac{11}{24}

Olasılık aksiyomlarından türetilen kümelerin ayrık birleşimi kuralı gereği

P(B \cup C) = P(B) + P(C \cap B^c)

formülü geçerlidir. Bu denklemde değerler yerine konduğunda

\frac{5}{6} = \frac{3}{8} + P(C \cap B^c) \implies P(C \cap B^c) = \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24}

elde edilir.

İstenen koşullu olasılık değerini (

P(C | B^c)

) hesaplamak

P(C | B^c) = \frac{11}{15}

Soruda '

B

olayının gerçekleşmediği bilindiğine göre' ifadesi yer aldığından koşullu olasılık tanımı uygulanır.

P(C | B^c) = \frac{P(C \cap B^c)}{P(B^c)}

formülü kullanılır. Paydaya gelecek olan değer

P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}

'dir. Sonuç:

\frac{11/24}{5/8} = \frac{11}{24} \cdot \frac{8}{5} = \frac{11}{15}

bulunur.

Anahtar Kavram

Olasılıkta süreklilik aksiyomu (limit kuralları), küme işlemleri (ayrık olaylar) ve koşullu olasılık formülünün sentezi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru