Examkin

Soru

Zorluk: ZorOlasılık Fonksiyonu ve Aksiyomları

Bir EE örnek uzayında tanımlanan A,BA, B ve CC olayları için aşağıdaki olasılık değerleri verilmiştir:

- P(A)=0,30P(A) = 0,30
- P(B)=0,40P(B) = 0,40
- P(C)=0,20P(C) = 0,20

AA ve BB olaylarının bağımsız olaylar, BB ve CC olaylarının ise birbirlerinden ayrık olaylar olduğu bilinmektedir. Ayrıca P(A∩C)=0,05P(A \cap C) = 0,05'tir.

Buna göre, A,BA, B veya CC olaylarından en az birinin gerçekleşme olasılığı olan P(A∪B∪C)P(A \cup B \cup C) kaçtır?

  1. A
    0,65
  2. B
    0,85
  3. 0,73Cevap
  4. D
    0,77
  5. E
    0,90

Cevap

Doğru değer 0,73'tür. Üç olayın birleşim kuralında bağımsızlık ve ayrıklık özelliklerinin doğru kullanılmasıyla bu değere ulaşılır.
Üç olayın birleşim olasılığını hesaplarken P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C)P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) formülü kullanılır. Soru metnindeki özellikler incelendiğinde; AA ve BB bağımsız olduğu için P(A∩B)=0,30×0,40=0,12P(A \cap B) = 0,30 \times 0,40 = 0,12'dir. BB ve CC ayrık olduğu için P(B∩C)=0P(B \cap C) = 0'dır. BB ve CC olayları birlikte gerçekleşemediğine göre üçünün birlikte gerçekleşmesi de imkansızdır; yani P(A∩B∩C)=0P(A \cap B \cap C) = 0'dır. Değerler yerine konduğunda 0,30+0,40+0,20−0,12−0,05−0+0=0,730,30 + 0,40 + 0,20 - 0,12 - 0,05 - 0 + 0 = 0,73 doğru sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üç olayın birleşimi için genel olasılık kuralı (Kolmogorov aksiyomlarından türetilen) formülünü yazmak.
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C)P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)
En az birinin gerçekleşme olasılığını bulmak için, ortak gerçekleşen durumların (kesişimlerin) fazladan toplanmasını engellemek gerekir.
2
A ve B olaylarının bağımsızlık özelliğini kullanarak kesişim olasılıklarını hesaplamak.
P(A∩B)=P(A)×P(B)=0,30×0,40=0,12P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,30 \times 0,40 = 0,12
Bağımsız iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, tekil olasılıklarının matematiksel çarpımına eşittir.
3
B ve C olaylarının ayrıklık özelliğinden yararlanarak ikili ve üçlü kesişim olasılıklarını belirlemek.
Ayrık oldukları için P(B∩C)=0P(B \cap C) = 0'dır. A∩B∩CA \cap B \cap C olayı, B∩CB \cap C'nin bir alt kümesi olduğundan P(A∩B∩C)=0P(A \cap B \cap C) = 0 olur.
Ayrık olayların ortak elemanı yoktur; aynı anda gerçekleşemezler ve kesişim olasılıkları her zaman sıfırdır.
4
Bulunan tüm değerleri birleşim olasılığı formülünde yerine koyarak nihai sonucu hesaplamak.
P(A∪B∪C)=0,30+0,40+0,20−0,12−0,05−0+0=0,73P(A \cup B \cup C) = 0,30 + 0,40 + 0,20 - 0,12 - 0,05 - 0 + 0 = 0,73
Bilinmeyen tüm kesişim olasılıkları aksiyomlar ve olay özellikleri kullanılarak bulunduktan sonra aritmetik işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Olasılık aksiyomları üzerinden birleşim kuralları, ayrık (mutually exclusive) ve bağımsız (independent) olayların kavramsal ayrımı
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık Fonksiyonu ve Aksiyomları

Bu konudan daha fazla soru