Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPoisson Dağılımı

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezine gelen sunucu hata bildirimlerinin sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Yapılan geriye dönük incelemelerde, herhangi bir 2 saatlik zaman diliminde gelen bildirim sayısının varyansının 6 olduğu tespit edilmiştir.

Kurumun hizmet seviyesi anlaşmasına (SLA) göre, 3 saatlik bir mesai diliminde gelen toplam bildirim sayısı (YY) üzerinden hesaplanan ve adam-saat cinsinden ifade edilen operasyonel maliyet fonksiyonu M(Y)=2Y2−5Y+10M(Y) = 2Y^2 - 5Y + 10 olarak modellenmiştir.

Buna göre, 3 saatlik bir mesai dilimi için beklenen operasyonel maliyet E[M(Y)]E[M(Y)] aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    30
  2. B
    64
  3. C
    127
  4. 145Cevap
  5. E
    289

Cevap

145
Poisson dağılımının temel özelliği gereği varyans, beklenen değere eşittir. Bu nedenle 2 saatlik periyot için λ2=6\lambda_2 = 6'dır. Zaman ölçeklemesi yapıldığında 3 saatlik periyot için orantı kurularak YY'nin parametresi λ=9\lambda = 9 bulunur. Maliyet fonksiyonunun beklenen değerini bulmak için E[Y2]E[Y^2] değerine ihtiyaç vardır. Varyans formülünden E[Y2]=Var(Y)+(E[Y])2=9+81=90E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 9 + 81 = 90 olarak elde edilir. Son adımda beklenen değerin doğrusallık özelliği kullanılarak E[2Y2−5Y+10]=2(90)−5(9)+10=145E[2Y^2 - 5Y + 10] = 2(90) - 5(9) + 10 = 145 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
2 saatlik periyot için Poisson parametresini belirleme
2 saatlik bildirim sayısına X2X_2 dersek, Var(X2)=6Var(X_2) = 6 verilmiştir. Poisson dağılımında E[X]=Var(X)E[X] = Var(X) olduğundan, 2 saatlik parametre λ2=6\lambda_2 = 6 olarak bulunur.
Poisson dağılımının en temel yapısal özelliği olan ortalama ve varyans eşitliğini kurmak.
2
3 saatlik mesai dilimi için parametreyi (λ3\lambda_3) ölçekleme
1 saatlik ortalama olay sayısı 6/2=36 / 2 = 3'tür. 3 saatlik periyottaki olay sayısı YY için parametre λ3=3×3=9\lambda_3 = 3 \times 3 = 9 olur.
Poisson sürecinde beklenen olay sayısının zaman periyoduyla doğrudan (lineer) orantılı olması.
3
YY rassal değişkeni için ikinci momenti (E[Y2]E[Y^2]) hesaplama
Y∼Poisson(9)Y \sim Poisson(9) olduğundan E[Y]=9E[Y] = 9 ve Var(Y)=9Var(Y) = 9'dur. Varyans formülünden yola çıkarak E[Y2]=Var(Y)+(E[Y])2=9+92=90E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 9 + 9^2 = 90 elde edilir.
Maliyet fonksiyonundaki karesel terimin (Y2Y^2) beklenen değerini doğru bir şekilde bulabilmek.
4
Beklenen maliyet fonksiyonunu (E[M(Y)]E[M(Y)]) çözme
E[2Y2−5Y+10]=2E[Y2]−5E[Y]+10=2(90)−5(9)+10=180−45+10=145E[2Y^2 - 5Y + 10] = 2E[Y^2] - 5E[Y] + 10 = 2(90) - 5(9) + 10 = 180 - 45 + 10 = 145 sonucuna ulaşılır.
Beklenen değer operatörünün doğrusallık (linearite) özelliğini kullanarak parçalı hesaplamaları birleştirmek.

Anahtar Kavram

Poisson Sürecinde Zaman Ölçeklemesi ve İkinci Moment Aracılığıyla Beklenen Değer Hesabı
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Poisson Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru