Examkin

Soru

Zorluk: ZorPoisson Dağılımı

Bir sınır kapısından geçiş yapan ticari araçlarda tespit edilen eksik belgeli araç sayısının Poisson dağılımına uygun olduğu bilinmektedir. Bu sınır kapısında 88 saatlik bir mesai süresince tespit edilen eksik belgeli araç sayısının standart sapması 22'dir.

Buna göre, aynı sınır kapısında ardışık 66 saatlik bir zaman diliminde tam olarak 44 eksik belgeli araç tespit edilme olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 278e−3\frac{27}{8}e^{-3}Cevap
  2. B
    323e−4\frac{32}{3}e^{-4}
  3. C
    27128e−1.5\frac{27}{128}e^{-1.5}
  4. D
    21872048e−2.25\frac{2187}{2048}e^{-2.25}
  5. E
    1564\frac{15}{64}

Cevap

İstenen olasılık 278e−3\frac{27}{8}e^{-3} değeridir.
Poisson dağılımında varyans, dağılımın parametresi olan λ\lambda'ya eşittir. Soruda 8 saatlik sürenin standart sapması 2 olarak verilmiştir; bu durumda varyans 22=42^2 = 4 olur, yani 8 saatlik süreç için λ8=4\lambda_8 = 4'tür. Soruda bizden 6 saatlik süreç için olasılık istendiğinden, beklenen değer orantı kurularak λ6=4×(6/8)=3\lambda_6 = 4 \times (6/8) = 3 şeklinde bulunur. Son adımda X∼Poisson(3)X \sim Poisson(3) için olasılık fonksiyonu P(X=4)=e−3344!=8124e−3=278e−3P(X=4) = \frac{e^{-3} 3^4}{4!} = \frac{81}{24}e^{-3} = \frac{27}{8}e^{-3} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
8 saatlik zaman dilimi için varyansın hesaplanması.
Var(X8)=σ2=22=4Var(X_8) = \sigma^2 = 2^2 = 4
Standart sapması 22 olarak verilen dağılımın parametresini bulmak için öncelikle varyansa geçiş yapılmalıdır.
2
8 saatlik Poisson parametresinin (λ8\lambda_8) belirlenmesi.
λ8=4\lambda_8 = 4
Poisson dağılımının en önemli özelliklerinden biri beklenen değerin varyansa eşit olmasıdır (E(X)=Var(X)=λE(X) = Var(X) = \lambda).
3
Parametrenin soruda istenen 6 saatlik zaman dilimine ölçeklenmesi.
λ6=4×68=3\lambda_6 = 4 \times \frac{6}{8} = 3
Poisson sürecinde olayların gerçekleşme oranı (λ\lambda) zamanla doğrusal olarak orantılıdır.
4
Bulunan parametre ile 4 araç tespit edilme olasılığının hesaplanması.
P(X=4)=e−3⋅344!=e−3⋅8124=278e−3P(X = 4) = \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!} = \frac{e^{-3} \cdot 81}{24} = \frac{27}{8}e^{-3}
Nihai olasılık değerini bulmak için Poisson olasılık kütle fonksiyonu P(X=x)=e−λλxx!P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} formülü kullanılmalıdır.

Anahtar Kavram

Poisson dağılımında varyans-beklenen değer eşitliği ve parametrenin zamana göre ölçeklenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Poisson Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru