Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğüne, yaşlılık aylığı ve malullük aylığı bağlat… — KPSS İstatistik

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğüne, yaşlılık aylığı ve malullük aylığı bağlatmak amacıyla yapılan günlük başvuru sayıları, sırasıyla günde ortalama $6$ ve $4$ olan bağımsız Poisson dağılımlarına uymaktadır.

Herhangi bir $t$ günlük periyotta kuruma yapılan toplam başvuru sayısının (yaşlılık ve malullük aylığı toplamı) varyansı $V(t)$ ile gösterilmektedir.

Buna göre; $5$ günlük bir çalışma haftasında kuruma yapılan toplam başvuru sayısının varyansı $V(5)$ ile; raporlanan tek bir mesai gününde kuruma toplam $5$ başvuru yapıldığı bilindiğine göre, bu başvurulardan en az $4$ 'ünün yaşlılık aylığı talebi olma olasılığı aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

$50$ ve $\frac{1053}{3125}$ Cevap
B
$10$ ve $\frac{1053}{3125}$
C
$250$ ve $\frac{1053}{3125}$
D
$50$ ve $\frac{810}{3125}$
E
$50$ ve $\frac{648}{3125}$

Cevap

5 günlük toplam başvurunun varyansının 50 ve koşullu olasılığın

\frac{1053}{3125}

olduğu seçenek doğrudur.

Beş günlük zaman aralığı için Poisson oran parametresi 5 katına çıkacağından

V(5) = 5 \times 10 = 50

olmalıdır. Ayrıca, iki bağımsız Poisson sürecinin toplamı verildiğinde bileşenlerden birinin koşullu olasılık dağılımı Binom'dur. Deneme sayısının

n=5

, başarı olasılığının

\frac{6}{10} = \frac{3}{5}

olduğu Binom dağılımında

P(X \geq 4)

kümülatif olasılığı hesaplandığında doğru ihtimal

\frac{1053}{3125}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

Günlük toplam başvurunun dağılımını ve parametresini belirleme.

Bağımsız iki Poisson değişkeninin toplamı da Poisson dağılır:

\lambda_{toplam} = \lambda_{yaşlılık} + \lambda_{malullük} = 6 + 4 = 10

Bağımsız Poisson süreçlerinin toplanabilirlik özelliğini uygulamak.

5 günlük periyottaki varyansı (

V(5)

) hesaplama.

5 gün için oran parametresi

\lambda_5 = 5 \times 10 = 50

olur. Poisson dağılımında varyans beklenen değere eşit olduğundan

V(5) = 50

olarak bulunur.

Poisson dağılımında varyansın oran (lambda) parametresiyle aynı olması ve zamanla doğrusal ölçeklenmesi ilkesini kullanmak.

Toplam başvuru sayısı bilindiğinde yaşlılık aylığı başvuru sayısının koşullu olasılık dağılımını kurma.

İki bağımsız Poisson süreci bilinen bir toplama ulaştığında koşullu dağılım Binom olur. Başarı olasılığı

p = \frac{\lambda_{yaşlılık}}{\lambda_{toplam}} = \frac{6}{10} = 0.6 = \frac{3}{5}

, deneme sayısı

n = 5

'tir.

İlgili koşullu olasılığın

Binom(n, p)

dağılımına uyduğu kuramsal teoremi işleme dahil etmek.

Kurulan

Binom(5, \frac{3}{5})

dağılımında "en az 4" başarı olasılığını hesaplama.

P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)

P(X = 4) = \binom{5}{4}(\frac{3}{5})^4(\frac{2}{5})^1 = 5 \times \frac{81}{625} \times \frac{2}{5} = \frac{810}{3125}

P(X = 5) = \binom{5}{5}(\frac{3}{5})^5(\frac{2}{5})^0 = 1 \times \frac{243}{3125} \times 1 = \frac{243}{3125}

.
İkisinin toplamı

\frac{1053}{3125}

elde edilir.

İstenen olayın birikimli (kümülatif) olasılığını ilgili ayrık değerler için toplamak.

Anahtar Kavram

İki Bağımsız Poisson Sürecinin Toplamı ve Koşullu Olasılığı (Binom Dağılımına Dönüşüm)

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru