Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPoisson Dağılımı

Bir vergi dairesi başkanlığının çağrı merkezine yapılan asılsız ihbar aramalarının sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Geçmiş verilere dayanılarak yapılan incelemelerde, herhangi bir 22 saatlik zaman diliminde gelen asılsız ihbar sayısının varyansının 44 olduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, bu çağrı merkezine herhangi bir 33 saatlik zaman diliminde en fazla 22 asılsız ihbar gelme olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    13e−413e^{-4}
  2. B
    24e−624e^{-6}
  3. C
    1012e−9\frac{101}{2}e^{-9}
  4. 25e−625e^{-6}Cevap
  5. E
    172e−3\frac{17}{2}e^{-3}

Cevap

Doğru cevap 25e−625e^{-6}'dır.
Soruda verilen varyans değeri Poisson dağılımı özelliği gereği ortalamaya eşittir. Bu nedenle 22 saatlik dilimde λ=4\lambda=4'tür. Bize 33 saatlik süre sorulduğu için λ\lambda, zamanla doğrusal orantılı şekilde λ=4×(3/2)=6\lambda = 4 \times (3/2) = 6 olarak güncellenmelidir. En fazla 22 ihbar gelmesi X≤2X \le 2 olayını ifade eder. P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) değerleri Poisson kütle olasılık fonksiyonu üzerinden hesaplandığında sırasıyla e−6e^{-6}, 6e−66e^{-6} ve 18e−618e^{-6} değerlerine ulaşılır. Bu olasılıkların toplamı bize doğru sonuç olan 25e−625e^{-6} değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
22 saatlik zaman dilimi için oran parametresini (λ2\lambda_2) belirlemek.
λ2=4\lambda_2 = 4
Poisson dağılımında varyans ile beklenen değer (ortalama) birbirine eşittir (Var(X)=E(X)=λVar(X) = E(X) = \lambda).
2
Oran parametresini 33 saatlik zaman dilimine göre oranlayıp ölçeklendirmek.
λ3=4×(32)=6\lambda_3 = 4 \times \left(\frac{3}{2}\right) = 6
Poisson sürecinde gerçekleşme sayısı, gözlem yapılan zaman aralığının uzunluğu ile doğrusal orantılıdır.
3
En fazla 22 asılsız ihbar gelme olasılığını kümülatif olarak ifade etmek.
P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
"En fazla 2" ifadesi; 00, 11 ve 22 ihbar gelme olasılıklarının toplamını gerektirir.
4
Olasılık fonksiyonu formülünü P(X=x)=e−λ⋅λxx!P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!} kullanarak hesaplamayı tamamlamak.
e−6⋅600!+e−6⋅611!+e−6⋅622!=e−6(1+6+18)=25e−6\frac{e^{-6} \cdot 6^0}{0!} + \frac{e^{-6} \cdot 6^1}{1!} + \frac{e^{-6} \cdot 6^2}{2!} = e^{-6}(1 + 6 + 18) = 25e^{-6}
Formüldeki xx yerine sırasıyla 00, 11, 22 değerleri ve λ\lambda yerine 66 yazılarak toplam elde edilir.

Anahtar Kavram

Poisson dağılımında varyansın ortalamaya eşit olması durumu ve λ\lambda oran parametresinin sürenin uzunluğuna göre doğrusal bir biçimde ölçeklendirilebilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Poisson Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru