Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPoisson Dağılımı

Derin deniz fiber optik kablo ağlarının bakımından sorumlu bir telekomünikasyon şirketinde, kablolarda meydana gelen mikro hata sayısı Poisson dağılımı ile modellenmektedir. Yapılan geçmiş veri analizlerine göre, 5 kilometrelik bir kablo kesitinde tam olarak 2 mikro hata bulunma olasılığı ile tam olarak 3 mikro hata bulunma olasılığı birbirine eşittir.

Bir otonom bakım robotu, 10 kilometrelik yeni bir kablo hattını incelemek üzere görevlendirilmiştir. Robotun bu inceleme görevinde harcayacağı enerji miktarı (kWh cinsinden), tespit edeceği toplam mikro hata sayısı YY olmak üzere E(Y)=2Y2+5Y+15E(Y) = 2Y^2 + 5Y + 15 fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, bakım robotunun 10 kilometrelik inceleme boyunca harcaması beklenen enerji miktarı kaç kWh'dir?

  1. A
    48
  2. B
    54
  3. C
    105
  4. D
    117
  5. 129Cevap

Cevap

129
Soru, Poisson dağılımında parametre ölçekleme ve varyans özelliklerinin sentezlenmesini gerektirmektedir. Öncelikle 5 km için P(X=2)=P(X=3)P(X=2) = P(X=3) eşitliğinden yararlanarak λ=3\lambda=3 bulunur. 10 km'lik yeni kesit için bu oran uzunlukla orantılı olarak artırılır ve λ=6\lambda=6 olur. Böylece 10 km'deki hata sayısı Y∼Poisson(6)Y \sim Poisson(6) dağılımına uyar. Robotun harcadığı enerji fonksiyonunun beklenen değerini (E[2Y2+5Y+15]E[2Y^2 + 5Y + 15]) hesaplamak için E[Y2]E[Y^2] ve E[Y]E[Y] değerlerine ihtiyaç vardır. Poisson dağılımında E[Y]=Var(Y)=λE[Y] = Var(Y) = \lambda olduğundan, hem beklenen değer hem de varyans 6'dır. E[Y2]E[Y^2] hesaplaması varyans formülünden çekilerek Var(Y)+(E[Y])2=6+62=42Var(Y) + (E[Y])^2 = 6 + 6^2 = 42 olarak bulunur. Beklenen değerin doğrusallığı ilkesi uygulanarak 2(42)+5(6)+15=84+30+15=1292(42) + 5(6) + 15 = 84 + 30 + 15 = 129 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
5 km için Poisson parametresini (λ₅) bulma
e−λ5λ522!=e−λ5λ533!  ⟹  λ5=3e^{-\lambda_5} \frac{\lambda_5^2}{2!} = e^{-\lambda_5} \frac{\lambda_5^3}{3!} \implies \lambda_5 = 3
Soruda verilen 'tam olarak 2 hata olasılığı ile tam olarak 3 hata olasılığı eşittir' bilgisini kullanarak temel Poisson parametresini hesaplamak.
2
10 km'lik inceleme için parametreyi (λ₁₀) ölçekleme
λ10=3×105=6  ⟹  Y∼Poisson(6)\lambda_{10} = 3 \times \frac{10}{5} = 6 \implies Y \sim Poisson(6)
Poisson sürecinde oran, incelenen aralığın uzunluğu ile doğru orantılıdır.
3
Y değişkeninin beklenen değerini ve varyansını belirleme
E[Y]=6E[Y] = 6 ve Var(Y)=6Var(Y) = 6
Poisson dağılımının temel özelliğine göre varyans ve beklenen değer, dağılımın parametresine (λ) eşittir.
4
E[Y2]E[Y^2] değerini hesaplama
E[Y2]=Var(Y)+(E[Y])2=6+62=42E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 6 + 6^2 = 42
Maliyet fonksiyonundaki ikinci dereceden terimin beklenen değerini bulmak için varyans formülü (Var(Y)=E[Y2]−(E[Y])2Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2) yeniden düzenlenerek kullanılır.
5
Beklenen enerji harcamasını hesaplama
E[E(Y)]=E[2Y2+5Y+15]=2E[Y2]+5E[Y]+15=2(42)+5(6)+15=129E[E(Y)] = E[2Y^2 + 5Y + 15] = 2E[Y^2] + 5E[Y] + 15 = 2(42) + 5(6) + 15 = 129
Beklenen değer operatörünün doğrusallık ilkesi (linearity of expectation) kullanılarak nihai sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Poisson Dağılımı Parametre Ölçekleme ve Momentleri
Bu soruyu puanla

Konular

Poisson Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru