Bir araştırmacı, normal dağılıma sahip olduğu bilinen bir popülasyondan n (n \ge 2) biriml… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, normal dağılıma sahip olduğu bilinen bir popülasyondan $n$ ( $n \ge 2$ ) birimlik bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) almıştır. Popülasyonun beklenen değeri ( $\mu$ ) ve varyansı ( $\sigma^2$ ) araştırmacı tarafından bilinmemektedir.

Araştırmacı, dağılımın varyansının karesini (yani $\theta = \sigma^4$ parametresini) tahmin etmek istemekte ve bunun için en çok olabilirlik (maximum likelihood) tahmin edicisi olan $T_n = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right)^2$ istatistiğini önermektedir.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin beklenen değeri $E(T_n)$ ve asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

A
$E(T_n) = \frac{(n-1)^2}{n^2}\sigma^4$ ; Asimptotik olarak yansızdır.
B
$E(T_n) = \frac{n^2 + 2n}{n^2}\sigma^4$ ; Asimptotik olarak yansızdır.
$E(T_n) = \frac{n^2 - 1}{n^2}\sigma^4$ ; Asimptotik olarak yansızdır.Cevap
D
$E(T_n) = \frac{n-1}{n}\sigma^4$ ; Asimptotik olarak yansızdır.
E
$E(T_n) = \sigma^4$ ; Yansızdır.

Cevap

Doğru yanıt, beklenen değerin

(n^2 - 1)/n^2 \cdot \sigma^4

olduğu ve tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğunu belirten seçenektir.

Varyansın en çok olabilirlik tahmin edicisi kitle varyansı ile oranlandığında

\chi^2_{n-1}

dağılımına uyar. İstatistiğin karesi alındığı için çözüm

\chi^2_{n-1}

dağılımının ikinci momentini (varyans ve beklenen değerin karesinin toplamı) gerektirir. Bu moment

(n^2-1)

olarak bulunur. Katsayılar yerine konduğunda beklenen değer

\frac{n^2 - 1}{n^2} \sigma^4

çıkar. Örneklem çapı (

n

) sonsuza giderken

\frac{n^2-1}{n^2}

ifadesi 1'e yakınsar, bu da tahmin edicinin limit durumunda gerçek parametre olan

\sigma^4

'ü verdiğini ve dolayısıyla asimptotik olarak yansız olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

Varyansın en çok olabilirlik tahmin edicisinin (

\hat{\sigma}^2

) dağılımını belirle.

Biliyoruz ki

\frac{n \hat{\sigma}^2}{\sigma^2} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}

dağılımına sahiptir.

Normal dağılımdan gelen rastgele örneklemlerde, örneklem varyansı ile kitle varyansı arasındaki bu oran her zaman

n-1

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı gösterir.

T_n

istatistiğini Ki-kare rastgele değişkeni (

Y

) cinsinden yaz.

Y \sim \chi^2_{n-1}

dersek,

T_n = (\hat{\sigma}^2)^2 = \left( \frac{\sigma^2 Y}{n} \right)^2 = \frac{\sigma^4}{n^2} Y^2

olur.

Beklenen değer hesaplamasını standart bir dağılımın (Ki-kare) momentleri üzerinden yapabilmek için dönüşüm gereklidir.

Ki-kare dağılımının ikinci momentini (

E(Y^2)

) hesapla.

Y \sim \chi^2_{n-1}

için

E(Y) = n-1

Var(Y) = 2(n-1)

'dir.

E(Y^2) = Var(Y) + [E(Y)]^2 = 2(n-1) + (n-1)^2 = 2n - 2 + n^2 - 2n + 1 = n^2 - 1

bulunur.

Herhangi bir

Y

rastgele değişkeni için ikinci moment, varyans ile beklenen değerin karesinin toplamına eşittir.

T_n

'nin beklenen değerini hesapla.

E(T_n) = \frac{\sigma^4}{n^2} E(Y^2) = \frac{\sigma^4}{n^2} (n^2 - 1) = \frac{n^2 - 1}{n^2} \sigma^4

elde edilir.

Sabit katsayılar beklenen değer operatörünün dışına çıkarılarak nihai değer bulunur.

Asimptotik yansızlık durumunu

n \to \infty

limitini alarak kontrol et.

\lim_{n \to \infty} E(T_n) = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) \sigma^4 = \sigma^4

. Limit değeri

\sigma^4

'e eşit olduğundan

T_n

asimptotik olarak yansızdır.

Bir tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olması için, örneklem çapı sonsuza giderken beklenen değerinin tahmin edilen parametreye eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

İstatistiklerin Beklenen Değeri ve Asimptotik Yansızlık

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru