Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorAsimptotik Yansızlık
Bir araştırmacı, olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x;θ)=θxθ+1,(x≥1, θ>0)f(x; \theta) = \frac{\theta}{x^{\theta+1}}, \quad (x \ge 1, \ \theta > 0)
olan Pareto dağılımından n (n>2)n \ (n > 2) çaplı rastgele bir örneklem almıştır. Bu dağılımın θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) θ^\hat{\theta} olarak bulunmuştur.

Buna göre, θ^\hat{\theta}'nın beklenen değeri ve asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. A
    E(θ^)=n−1nθE(\hat{\theta}) = \frac{n-1}{n}\theta ; Asimptotik olarak yansızdır.
  2. B
    E(θ^)=θE(\hat{\theta}) = \theta ; Yansızdır.
  3. C
    E(θ^)=nn+1θE(\hat{\theta}) = \frac{n}{n+1}\theta ; Asimptotik olarak yansızdır.
  4. E(θ^)=nn−1θE(\hat{\theta}) = \frac{n}{n-1}\theta ; Asimptotik olarak yansızdır.Cevap
  5. E
    E(θ^)=nn−2θE(\hat{\theta}) = \frac{n}{n-2}\theta ; Asimptotik olarak yansızdır.

Cevap

Doğru seçenek E(θ^)=nn−1θE(\hat{\theta}) = \frac{n}{n-1}\theta ve tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğunu belirten ifadedir.
Pareto dağılımı için θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi θ^=n∑ln⁡Xi\hat{\theta} = \frac{n}{\sum \ln X_i} formülüyle bulunur. Xi∼Pareto(1,θ)X_i \sim \text{Pareto}(1, \theta) dağılımından ln⁡Xi∼U¨stel(θ)\ln X_i \sim \text{Üstel}(\theta) dağılımı elde edilir. Bağımsız üstel dağılımların toplamı olan W=∑ln⁡XiW = \sum \ln X_i değişkeni Gamma(n,θ)\text{Gamma}(n, \theta) dağılımına uyar. Gamma(n,θ)\text{Gamma}(n, \theta) dağılımında 1/W1/W ifadesinin beklenen değeri (ters Gamma momenti) E[1/W]=θn−1E[1/W] = \frac{\theta}{n-1}'dir. Bu nedenle E[θ^]=E[nW]=nn−1θE[\hat{\theta}] = E[\frac{n}{W}] = \frac{n}{n-1}\theta olarak hesaplanır. Limit alındığında lim⁡n→∞nn−1θ=θ\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-1}\theta = \theta olduğu görülür; bu durum tahmin edicinin sonlu örneklemlerde yanlı, ancak örneklem hacmi sonsuza giderken asimptotik olarak yansız olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Log-olabilirlik fonksiyonunun türevi alınarak θ\theta'nın en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) bulunur.
θ^=n∑i=1nln⁡Xi\hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i} olarak elde edilir.
Tahmin edicinin asimptotik özelliklerini incelemek için öncelikle tahmin edicinin cebirsel formunun net olarak bulunması gerekir.
2
Örneklemdeki XiX_i değişkenlerine Yi=ln⁡XiY_i = \ln X_i dönüşümü uygulanarak yeni değişkenin dağılımı belirlenir.
YiY_i değişkenlerinin λ=θ\lambda = \theta parametreli Üstel dağılıma, Yi∼U¨stel(θ)Y_i \sim \text{Üstel}(\theta), sahip olduğu bulunur.
Paydada yer alan ∑ln⁡Xi\sum \ln X_i ifadesinin toplam dağılımını elde edebilmek için tekil terimlerin bilindik bir dağılıma dönüştürülmesi şarttır.
3
W=∑i=1nln⁡XiW = \sum_{i=1}^n \ln X_i toplam değişkeninin dağılımı ve bu dağılımın tersinin beklenen değeri E(1/W)E(1/W) hesaplanır.
Bağımsız üstel dağılımların toplamından W∼Gamma(n,θ)W \sim \text{Gamma}(n, \theta) elde edilir ve ters Gamma özelliğiyle E(1/W)=θn−1E(1/W) = \frac{\theta}{n-1} bulunur.
θ^=n/W\hat{\theta} = n/W şeklinde ifade edildiğinden, tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayabilmek için 1/W1/W'nin beklenen değeri kullanılmalıdır.
4
θ^\hat{\theta}'nın beklenen değeri E(θ^)=n⋅E(1/W)E(\hat{\theta}) = n \cdot E(1/W) eşitliğinden hesaplanır ve n→∞n \to \infty için limiti alınarak asimptotik yansızlık durumu kontrol edilir.
E(θ^)=nn−1θE(\hat{\theta}) = \frac{n}{n-1}\theta bulunur. lim⁡n→∞nn−1θ=θ\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-1}\theta = \theta olduğundan tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğu ispatlanır.
Bir tahmin edicinin asimptotik yansız olabilmesi için örneklem çapı sonsuza giderken beklenen değerinin gerçek kitle parametresine tam olarak eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık ve MLE'nin Beklenen Değeri
Bu soruyu puanla

Konular

Asimptotik Yansızlık

Bu konudan daha fazla soru