Examkin

Asimptotik Yansızlık

19 soru

Soru 1Soru →

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n (n>1)(n>1) ortalaması μ\mu ve varyansı σ2\sigma^2 olan bir kitleden çekilmiş bağımsız rastgele örneklem olsun. Kitle varyansının en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) σ^2=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 eşitliği ile verilmektedir.

Bu tahmin edicinin asimptotik yansızlığı ve özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Beklenen değeri E(σ^2)=n−1nσ2E(\hat{\sigma}^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2 olup sonlu örneklemlerde yanlıdır, ancak lim⁡n→∞E(σ^2)=σ2\lim_{n\to\infty} E(\hat{\sigma}^2) = \sigma^2 olduğundan asimptotik yansızdır.

Cevap

Doğru ifade, tahmin edicinin beklenen değerinin ((n-1)/n)σ² olduğunu, sonlu örneklemde yanlı iken limit durumunda beklenen değerin σ²'ye eşitlenmesi sebebiyle asimptotik yansız olduğunu belirten seçenektir.
Doğru yanıt, en çok olabilirlik varyans tahmin edicisinin matematiksel gerçekliğine tam olarak uygundur. nn paydalı tahmin edicinin beklenen değeri n−1nσ2\frac{n-1}{n}\sigma^2 olduğundan sonlu düzeyde yanlıdır. Ancak asimptotik yansızlık tanımı lim⁡n→∞E(θ^n)=θ\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}_n) = \theta şeklindedir ve bu limit alındığında lim⁡n→∞n−1nσ2=σ2\lim_{n\to\infty} \frac{n-1}{n}\sigma^2 = \sigma^2 eşitliği sağlandığı için tahmin edici asimptotik yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen varyans tahmin edicisinin (MLE) beklenen değerini matematiksel olarak incele.
E(σ^2)=E(1n∑(Xi−Xˉ)2)=n−1nσ2E(\hat{\sigma}^2) = E\left(\frac{1}{n} \sum (X_i - \bar{X})^2\right) = \frac{n-1}{n}\sigma^2
Örneklem varyansı (S2S^2) paydada n−1n-1 bulundurduğunda yansızdır. MLE formülünde ise payda nn olduğu için, yansız varyans değerinin n−1n\frac{n-1}{n} katı elde edilir.
2
Sonlu bir nn değeri için yansızlık şartının sağlanıp sağlanmadığını kontrol et.
Yan (Bias) = E(σ^2)−σ2=n−1nσ2−σ2=−σ2n≠0E(\hat{\sigma}^2) - \sigma^2 = \frac{n-1}{n}\sigma^2 - \sigma^2 = -\frac{\sigma^2}{n} \neq 0
Beklenen değer doğrudan parametre σ2\sigma^2'ye eşit çıkmadığı ve aralarında bir yan miktarı bulunduğu için tahmin edici küçük örneklemlerde yanlıdır.
3
Asimptotik yansızlık tanımını uygulamak için örneklem çapı nn sonsuza giderken limit al.
lim⁡n→∞E(σ^2)=lim⁡n→∞n−1nσ2=1⋅σ2=σ2\lim_{n \to \infty} E(\hat{\sigma}^2) = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{n}\sigma^2 = 1 \cdot \sigma^2 = \sigma^2
Örneklem çapı sonsuza giderken tahmin edicinin beklenen değeri kitle parametresine (σ2\sigma^2) yaklaşmaktadır. Limit tanımı gereği lim⁡n→∞Bias(σ^2)=0\lim_{n \to \infty} Bias(\hat{\sigma}^2) = 0 olduğu için tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık (Asymptotic Unbiasedness)
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →

Bir risk analiz uzmanı, belirli bir elektronik bileşenin ömrünün (saat cinsinden) ortalaması θ\theta olan üstel dağılıma uygun olduğunu modellemiştir. Uzman, bileşenin bozulma hızını ifade eden λ=1θ\lambda = \frac{1}{\theta} parametresi ile ilgilenmektedir. Bu parametreyi tahmin etmek için nn hacimli (n>1n>1) bağımsız bir rastgele örneklem çekmiş ve λ\lambda'nın en çok olabilirlik tahmin edicisini λ^=1Xˉ\hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{X}} olarak belirlemiştir.

(Bilgi: Xi∼U¨stel(θ)X_i \sim \text{Üstel}(\theta) rassal değişkenlerinin toplamı olan Y=∑i=1nXiY = \sum_{i=1}^n X_i istatistiği Gamma(n,θ)\text{Gamma}(n, \theta) dağılımına sahiptir ve n>1n>1 için E(Y−1)=1θ(n−1)E(Y^{-1}) = \frac{1}{\theta(n-1)} eşitliği sağlanır.)

Buna göre, λ^\hat{\lambda} tahmin edicisinin beklenen değeri E(λ^)E(\hat{\lambda}) ve λ\lambda parametresi için asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: E(λ^)=nn−1λE(\hat{\lambda}) = \frac{n}{n-1}\lambda ; λ^\hat{\lambda} asimptotik yansız bir tahmin edicidir.

Cevap

Tahmin edicinin beklenen değeri E(λ^)=nn−1λE(\hat{\lambda}) = \frac{n}{n-1}\lambda olarak bulunur. Limit durumu lim⁡n→∞nn−1λ=λ\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-1}\lambda = \lambda olduğu için tahmin edici asimptotik yansızdır.
Beklenen değer hesaplaması doğru yapıldığında E(nY)=n⋅E(Y−1)=nn−11θ=nn−1λE(\frac{n}{Y}) = n \cdot E(Y^{-1}) = \frac{n}{n-1}\frac{1}{\theta} = \frac{n}{n-1}\lambda sonucuna ulaşılır. Bu ifade λ\lambda'ya eşit olmadığı için tahmin edici yanlıdır (yan miktarı 1n−1λ\frac{1}{n-1}\lambda). Ancak n→∞n \to \infty için lim⁡n→∞nn−1λ=λ\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-1}\lambda = \lambda eşitliği sağlandığından tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin ediciyi verilen istatistik (YY) cinsinden ifade et.
Xˉ=∑Xin=Yn\bar{X} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{Y}{n} olduğundan, λ^=1Xˉ=nY\hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{X}} = \frac{n}{Y} elde edilir.
Beklenen değeri hesaplayabilmek için soruda dağılım özelliği verilen Y istatistiğine geçiş yapılmalıdır.
2
Beklenen değer operatörünü uygula ve soruda verilen bilgiyi kullan.
E(λ^)=E(nY)=n⋅E(Y−1)=n⋅1θ(n−1)E(\hat{\lambda}) = E\left(\frac{n}{Y}\right) = n \cdot E(Y^{-1}) = n \cdot \frac{1}{\theta(n-1)} bulunur.
Sabit katsayılar (nn) beklenen değerin dışına alınır ve Gamma dağılımı için geçerli olan ters moment formülü yerine konur.
3
Sonucu hedef parametre (λ\lambda) cinsinden düzenle.
λ=1θ\lambda = \frac{1}{\theta} olduğundan, E(λ^)=nn−1λE(\hat{\lambda}) = \frac{n}{n-1}\lambda elde edilir.
Soru λ\lambda parametresi üzerinden sorulmuştur, bu yüzden θ\theta hedef parametreye dönüştürülmelidir.
4
Asimptotik yansızlık durumu için örneklem çapı nn'i sonsuza götürerek limit al.
lim⁡n→∞E(λ^)=lim⁡n→∞(nn−1λ)=1⋅λ=λ\lim_{n \to \infty} E(\hat{\lambda}) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n-1}\lambda\right) = 1 \cdot \lambda = \lambda sonucu elde edilir.
Asimptotik yansızlığın tanımı lim⁡n→∞E(λ^)=λ\lim_{n \to \infty} E(\hat{\lambda}) = \lambda şartının sağlanmasıdır.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık

Alternatif Yöntem

Beklenen değeri bulmak için Xˉ\bar{X}'in tam dağılımını (Erlang dağılımı) bularak E(1/Xˉ)E(1/\bar{X}) integrali doğrudan da hesaplanabilir, ancak Gamma dağılımının moment üreten özellikleri soruda verildiği için dönüştürerek çözmek daha pratiktir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →
Bir araştırmacı, olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x;θ)=θxθ+1,(x≥1, θ>0)f(x; \theta) = \frac{\theta}{x^{\theta+1}}, \quad (x \ge 1, \ \theta > 0)
olan Pareto dağılımından n (n>2)n \ (n > 2) çaplı rastgele bir örneklem almıştır. Bu dağılımın θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) θ^\hat{\theta} olarak bulunmuştur.

Buna göre, θ^\hat{\theta}'nın beklenen değeri ve asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: E(θ^)=nn−1θE(\hat{\theta}) = \frac{n}{n-1}\theta ; Asimptotik olarak yansızdır.

Cevap

Doğru seçenek E(θ^)=nn−1θE(\hat{\theta}) = \frac{n}{n-1}\theta ve tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğunu belirten ifadedir.
Pareto dağılımı için θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi θ^=n∑ln⁡Xi\hat{\theta} = \frac{n}{\sum \ln X_i} formülüyle bulunur. Xi∼Pareto(1,θ)X_i \sim \text{Pareto}(1, \theta) dağılımından ln⁡Xi∼U¨stel(θ)\ln X_i \sim \text{Üstel}(\theta) dağılımı elde edilir. Bağımsız üstel dağılımların toplamı olan W=∑ln⁡XiW = \sum \ln X_i değişkeni Gamma(n,θ)\text{Gamma}(n, \theta) dağılımına uyar. Gamma(n,θ)\text{Gamma}(n, \theta) dağılımında 1/W1/W ifadesinin beklenen değeri (ters Gamma momenti) E[1/W]=θn−1E[1/W] = \frac{\theta}{n-1}'dir. Bu nedenle E[θ^]=E[nW]=nn−1θE[\hat{\theta}] = E[\frac{n}{W}] = \frac{n}{n-1}\theta olarak hesaplanır. Limit alındığında lim⁡n→∞nn−1θ=θ\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-1}\theta = \theta olduğu görülür; bu durum tahmin edicinin sonlu örneklemlerde yanlı, ancak örneklem hacmi sonsuza giderken asimptotik olarak yansız olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Log-olabilirlik fonksiyonunun türevi alınarak θ\theta'nın en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) bulunur.
θ^=n∑i=1nln⁡Xi\hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i} olarak elde edilir.
Tahmin edicinin asimptotik özelliklerini incelemek için öncelikle tahmin edicinin cebirsel formunun net olarak bulunması gerekir.
2
Örneklemdeki XiX_i değişkenlerine Yi=ln⁡XiY_i = \ln X_i dönüşümü uygulanarak yeni değişkenin dağılımı belirlenir.
YiY_i değişkenlerinin λ=θ\lambda = \theta parametreli Üstel dağılıma, Yi∼U¨stel(θ)Y_i \sim \text{Üstel}(\theta), sahip olduğu bulunur.
Paydada yer alan ∑ln⁡Xi\sum \ln X_i ifadesinin toplam dağılımını elde edebilmek için tekil terimlerin bilindik bir dağılıma dönüştürülmesi şarttır.
3
W=∑i=1nln⁡XiW = \sum_{i=1}^n \ln X_i toplam değişkeninin dağılımı ve bu dağılımın tersinin beklenen değeri E(1/W)E(1/W) hesaplanır.
Bağımsız üstel dağılımların toplamından W∼Gamma(n,θ)W \sim \text{Gamma}(n, \theta) elde edilir ve ters Gamma özelliğiyle E(1/W)=θn−1E(1/W) = \frac{\theta}{n-1} bulunur.
θ^=n/W\hat{\theta} = n/W şeklinde ifade edildiğinden, tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayabilmek için 1/W1/W'nin beklenen değeri kullanılmalıdır.
4
θ^\hat{\theta}'nın beklenen değeri E(θ^)=n⋅E(1/W)E(\hat{\theta}) = n \cdot E(1/W) eşitliğinden hesaplanır ve n→∞n \to \infty için limiti alınarak asimptotik yansızlık durumu kontrol edilir.
E(θ^)=nn−1θE(\hat{\theta}) = \frac{n}{n-1}\theta bulunur. lim⁡n→∞nn−1θ=θ\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-1}\theta = \theta olduğundan tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğu ispatlanır.
Bir tahmin edicinin asimptotik yansız olabilmesi için örneklem çapı sonsuza giderken beklenen değerinin gerçek kitle parametresine tam olarak eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık ve MLE'nin Beklenen Değeri
Soru 4Soru →

Bir araştırmacı, başarı olasılığı pp olan Bernoulli dağılımına sahip bir kitleden nn (n≥2n \ge 2) çaplı bağımsız bir rastgele örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) almıştır. Kitle varyansı olan θ=p(1−p)\theta = p(1-p) parametresini tahmin etmek için en çok olabilirlik tahmin edicisi olan θ^=Xˉ(1−Xˉ)\hat{\theta} = \bar{X}(1-\bar{X}) istatistiği önerilmiştir.

Buna göre, θ^\hat{\theta} tahmin edicisinin yansızlık durumu ve yan miktarı (Bias) ile asimptotik yansızlık özelliği aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yanlıdır ancak asimptotik yansızdır; yan miktarı −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n} olur.

Cevap

Tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik yansızdır; yan miktarı −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n} olarak bulunur.
Tahmin edicinin beklenen değeri E[Xˉ−Xˉ2]E[\bar{X} - \bar{X}^2] işlemiyle hesaplandığında p(1−p)−p(1−p)np(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} bulunur. Gerçek parametre değeri olan p(1−p)p(1-p) çıkarıldığında yan miktarı −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n} elde edilir. Yan miktarı sıfırdan farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır. Ancak n→∞n \to \infty için yan miktarının limiti 00'a yaklaştığından asimptotik olarak yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem ortalaması Xˉ\bar{X}'in beklenen değerini ve varyansını belirle.
E[Xˉ]=pE[\bar{X}] = p ve Var(Xˉ)=p(1−p)nVar(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n} elde edilir.
Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplarken Xˉ\bar{X} ve Xˉ2\bar{X}^2'nin özelliklerine ihtiyaç duyulacaktır.
2
Tahmin ediciyi genişleterek E[Xˉ2]E[\bar{X}^2] terimini hesapla.
E[Xˉ2]=Var(Xˉ)+(E[Xˉ])2=p(1−p)n+p2E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{p(1-p)}{n} + p^2 bulunur.
θ^=Xˉ(1−Xˉ)=Xˉ−Xˉ2\hat{\theta} = \bar{X}(1-\bar{X}) = \bar{X} - \bar{X}^2 olduğu için E[Xˉ2]E[\bar{X}^2] değeri denkleme dahil edilmelidir.
3
Tahmin edicinin beklenen değerini E[θ^]=E[Xˉ]−E[Xˉ2]E[\hat{\theta}] = E[\bar{X}] - E[\bar{X}^2] formülüyle hesapla.
E[θ^]=p−(p(1−p)n+p2)=p(1−p)−p(1−p)nE[\hat{\theta}] = p - \left( \frac{p(1-p)}{n} + p^2 \right) = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} olarak sadeleştirilir.
Yansızlık durumunu kontrol etmek için tahmin edicinin ortalaması (beklenen değeri) bulunmalıdır.
4
Yan miktarını (Bias) hesapla ve asimptotik durumunu n→∞n \to \infty için değerlendir.
Yan=E[θ^]−θ=−p(1−p)nYan = E[\hat{\theta}] - \theta = -\frac{p(1-p)}{n}. Limit alındığında lim⁡n→∞−p(1−p)n=0\lim_{n \to \infty} -\frac{p(1-p)}{n} = 0'dır.
Yan miktarı sıfırdan farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır, ancak limiti sıfıra gittiği için asimptotik yansızdır.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık

Alternatif Yöntem

Beklenen değeri bulmak için Bernoulli örneklem varyansı formülünden yararlanılabilir. S2=nn−1Xˉ(1−Xˉ)S^2 = \frac{n}{n-1}\bar{X}(1-\bar{X}) yansız bir tahmin edicidir. Buradan E[Xˉ(1−Xˉ)]=n−1nE[S2]=n−1np(1−p)E[\bar{X}(1-\bar{X})] = \frac{n-1}{n}E[S^2] = \frac{n-1}{n}p(1-p) olduğu doğrudan görülebilir ve yan hesabı yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 5Soru →

Ortalaması μ\mu ve varyansı σ2\sigma^2 olan bir kütleden alınan nn hacimli (n>1n > 1) bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele bir örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n ile gösterilsin. Kütle ortalamasının karesi olan θ=μ2\theta = \mu^2 parametresinin tahmini için,

Tn=Xˉ2−σ^2nT_n = \bar{X}^2 - \frac{\hat{\sigma}^2}{n}

istatistiği önerilmiştir. Burada Xˉ\bar{X} örneklem ortalamasını ve σ^2=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 ise kütle varyansının en çok olabilirlik tahmin edicisini ifade etmektedir.

Buna göre, TnT_n tahmin edicisinin θ=μ2\theta = \mu^2 parametresi için yan miktarı (bias) ve asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yan miktarı σ2n2\frac{\sigma^2}{n^2}'dir, yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

Cevap

Doğru seçenek, yan miktarının σ2n2\frac{\sigma^2}{n^2} olduğunu ve tahmin edicinin asimptotik yansız olduğunu belirten seçenektir.
Tahmin edicinin beklenen değeri E[Tn]=E[Xˉ2]−1nE[σ^2]E[T_n] = E[\bar{X}^2] - \frac{1}{n}E[\hat{\sigma}^2] formülü ile hesaplanır. İlk olarak, E[Xˉ2]=μ2+σ2nE[\bar{X}^2] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n} eşitsizliği bilinmelidir. İkinci terimde yer alan σ^2\hat{\sigma}^2 en çok olabilirlik varyans tahmin edicisi olduğu için beklenen değeri n−1nσ2\frac{n-1}{n}\sigma^2'dir. Bunlar denklemde yerine konulduğunda, E[Tn]=μ2+σ2n−n−1n2σ2=μ2+σ2n2E[T_n] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n} - \frac{n-1}{n^2}\sigma^2 = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n^2} elde edilir. Parametremiz θ=μ2\theta = \mu^2 olduğundan yan miktarı E[Tn]−θ=σ2n2E[T_n] - \theta = \frac{\sigma^2}{n^2} olur. nn sonsuza giderken bu yan miktarı limit olarak sıfıra yaklaştığı için tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik olarak yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Xˉ2\bar{X}^2'nin beklenen değerinin hesaplanması
E[Xˉ2]=Var(Xˉ)+(E[Xˉ])2=σ2n+μ2E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2
Yan miktarını bulmak için TnT_n tahmin edicisini oluşturan terimlerin ayrı ayrı beklenen değerleri bulunmalıdır.
2
σ^2\hat{\sigma}^2'nin beklenen değerinin bulunması
σ^2=n−1nS2\hat{\sigma}^2 = \frac{n-1}{n} S^2 olduğundan, E[σ^2]=n−1nσ2E[\hat{\sigma}^2] = \frac{n-1}{n} \sigma^2 olur.
En çok olabilirlik varyans tahmin edicisi yanlıdır ve beklenen değeri kütle varyansının n−1n\frac{n-1}{n} katıdır.
3
TnT_n'nin beklenen değerinin ve yan miktarının hesaplanması
E[Tn]=E[Xˉ2]−1nE[σ^2]=(μ2+σ2n)−1n(n−1nσ2)=μ2+nσ2−(n−1)σ2n2=μ2+σ2n2E[T_n] = E[\bar{X}^2] - \frac{1}{n}E[\hat{\sigma}^2] = \left(\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}\right) - \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\sigma^2\right) = \mu^2 + \frac{n\sigma^2 - (n-1)\sigma^2}{n^2} = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n^2}. Yan miktarı =E[Tn]−θ=σ2n2= E[T_n] - \theta = \frac{\sigma^2}{n^2}.
Tahmin edicinin beklenen değerinden, tahmin edilen gerçek parametrenin (μ2\mu^2) çıkarılması yan miktarını (bias) verir.
4
Asimptotik yansızlık durumunun incelenmesi
lim⁡n→∞Yan(Tn)=lim⁡n→∞σ2n2=0\lim_{n \to \infty} Yan(T_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sigma^2}{n^2} = 0. Tahmin edici asimptotik yansızdır.
Örneklem hacmi sonsuza giderken yan miktarı sıfıra yakınsıyorsa, söz konusu tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Anahtar Kavram

Yan Miktarı (Bias) ve Asimptotik Yansızlık
Soru 6Soru →

Bir çağrı merkezine gelen ardışık çağrılar arasındaki bekleme süreleri, beklenen değeri θ\theta ve varyansı θ2\theta^2 olan üstel dağılıma uygun olarak modellenmektedir. Sistem performansını değerlendiren bir analist, θ2\theta^2 parametresini tahmin etmek için nn çaplı bağımsız bir rastgele örneklem üzerinden Tn=(Xˉ)2T_n = (\bar{X})^2 tahmin edicisini oluşturmuştur.

Buna göre, TnT_n tahmin edicisinin θ2\theta^2 için yansızlık durumu ve n→∞n \to \infty iken asimptotik davranışı aşağıdakilerin hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Beklenen değeri E(Tn)=n+1nθ2E(T_n) = \frac{n+1}{n}\theta^2 olduğundan sonlu örneklemlerde yanlıdır; fakat n→∞n \to \infty için limit yan miktarı sıfır olduğundan asimptotik olarak yansızdır.

Cevap

Verilen tahmin edicinin beklenen değeri hesaplandığında sonlu örneklemlerde yanlı olduğu; ancak örneklem çapı sonsuza giderken yan miktarının sıfıra ulaştığı, dolayısıyla asimptotik yansız olduğu görülür.
Verilen Tn=(Xˉ)2T_n = (\bar{X})^2 tahmin edicisinin beklenen değerini bulmak için, örneklem ortalamasının varyansından yararlanılmalıdır. Bir rastgele değişkenin karesinin beklenen değeri, varyansı ile beklenen değerinin karesinin toplamına eşittir: E(Xˉ2)=Var(Xˉ)+[E(Xˉ)]2E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2. Soruda verilen üstel dağılım için E(X)=θE(X) = \theta ve Var(X)=θ2Var(X) = \theta^2'dir. nn çaplı örneklem ortalaması için E(Xˉ)=θE(\bar{X}) = \theta ve Var(Xˉ)=θ2nVar(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n} olur. Bu değerler yerine konulduğunda E(Tn)=θ2n+θ2=n+1nθ2E(T_n) = \frac{\theta^2}{n} + \theta^2 = \frac{n+1}{n}\theta^2 elde edilir. Görüldüğü gibi tahmin edicinin beklenen değeri θ2\theta^2'ye eşit olmadığından sonlu örneklemlerde yanlıdır ve yan miktarı θ2n\frac{\theta^2}{n}'dir. Ancak örneklem çapı sonsuza giderken limit alındığında (lim⁡n→∞θ2n=0\lim_{n \to \infty} \frac{\theta^2}{n} = 0) yan miktarı sıfıra yaklaştığı için tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini varyans formülü aracılığıyla hesaplama.
E(Xˉ2)=Var(Xˉ)+[E(Xˉ)]2=θ2n+θ2=n+1nθ2E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = \frac{\theta^2}{n} + \theta^2 = \frac{n+1}{n}\theta^2
Beklenen değer doğrusal bir operatördür ancak karesel ifadelerde (E(Y2)E(Y^2)), istatistiğin varyansının da hesaba katılması matematiksel bir zorunluluktur.
2
Tahmin edicinin yan miktarını (bias) formülize etme.
Yan(Tn)=E(Tn)−θ2=n+1nθ2−θ2=θ2nYan(T_n) = E(T_n) - \theta^2 = \frac{n+1}{n}\theta^2 - \theta^2 = \frac{\theta^2}{n}
Yan miktarı, tahmin edicinin teorik beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen gerçek parametre değeri arasındaki fark olarak tanımlanır.
3
Örneklem çapı (nn) sonsuza giderken yan miktarının limitini alma.
lim⁡n→∞θ2n=0\lim_{n \to \infty} \frac{\theta^2}{n} = 0
Asimptotik yansızlık, örneklem çapı sonsuza doğru büyüdükçe tahmin edicinin yan miktarının sıfıra yakınsaması durumudur.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık ve Beklenen Değer Özellikleri
Soru 7Soru →

Bir elektronik sensör üretim hattında üretilen sensörlerin çalışma ömrü (yıl cinsinden), x≥θx \ge \theta olmak üzere f(x;θ)=e−(x−θ)f(x; \theta) = e^{-(x-\theta)} olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip kaydırılmış üstel (shifted exponential) dağılım ile modellenmektedir. Kalite kontrol mühendisi, rastgele seçilen nn adet sensörün çalışma ömürlerini X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olarak gözlemlemiş ve sistemin minimum garanti süresi olan bilinmeyen θ\theta (θ>0\theta > 0) parametresini tahmin etmek için Tn=min⁡(X1,X2,…,Xn)T_n = \min(X_1, X_2, \dots, X_n) tahmin edicisini önermiştir.

Buna göre, TnT_n tahmin edicisinin yansızlık ve asimptotik yansızlık özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: TnT_n tahmin edicisinin yan miktarı 1n\frac{1}{n}'dir; dolayısıyla yanlı bir tahmin edicidir ancak asimptotik olarak yansızdır.

Cevap

Tahmin edicinin yan miktarı 1n\frac{1}{n}'dir; bu nedenle yanlı bir tahmin edicidir ancak asimptotik olarak yansızdır.
Verilen dağılım modelinde minimum sıra istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu fTn(x)=ne−n(x−θ)f_{T_n}(x) = n e^{-n(x-\theta)} şeklindedir. Bu ifadenin xx ile çarpılarak integrali alındığında beklenen değer E(Tn)=θ+1nE(T_n) = \theta + \frac{1}{n} olarak bulunur. Parametre θ\theta'dan farkı olan yan miktarı 1n\frac{1}{n} olduğu için tahmin edici yanlıdır. Ancak örneklem hacmi büyüdükçe (n→∞n \to \infty), limit lim⁡n→∞1n=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 değerine eşittir. Bu matematiksel gerçek, tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir gözlem için birikimli dağılım fonksiyonundan hareketle aşma olasılığını hesaplayın.
P(X>x)=∫x∞e−(t−θ)dt=e−(x−θ)P(X > x) = \int_{x}^{\infty} e^{-(t-\theta)} dt = e^{-(x-\theta)}
Minimum sıra istatistiğinin (T_n) dağılımını bulabilmek için tüm X_i'lerin x'ten büyük olma olasılığını belirlemek gerekir.
2
Bağımsızlık varsayımı ile Tn=min⁡(X1,…,Xn)T_n = \min(X_1, \dots, X_n) tahmin edicisinin dağılımını türetin.
P(Tn>x)=[P(X>x)]n=e−n(x−θ)P(T_n > x) = [P(X > x)]^n = e^{-n(x-\theta)}, dolayısıyla olasılık yoğunluk fonksiyonu fTn(x)=ne−n(x−θ)f_{T_n}(x) = n e^{-n(x-\theta)} olur (x≥θx \ge \theta).
TnT_n'nin beklenen değerini (E(T_n)) bulabilmek için kendi özel dağılım fonksiyonunun formülüne ihtiyaç vardır.
3
TnT_n'nin beklenen değerini integral yardımıyla hesaplayın.
E(Tn)=∫θ∞x⋅ne−n(x−θ)dx=θ+1nE(T_n) = \int_{\theta}^{\infty} x \cdot n e^{-n(x-\theta)} dx = \theta + \frac{1}{n}
Yansızlık durumunu test edebilmek için tahmin edicinin kitlenin üzerinden beklenen değeri (ortalaması) bulunmalıdır.
4
Tahmin edicinin yan miktarını (Bias) hesaplayıp sonlu örneklemler için yansızlık durumunu kontrol edin.
Yan(Tn)=E(Tn)−θ=(θ+1n)−θ=1nYan(T_n) = E(T_n) - \theta = (\theta + \frac{1}{n}) - \theta = \frac{1}{n}. Sıfırdan farklı olduğu için TnT_n yanlıdır.
Yan miktarının sıfıra eşit olmaması, tahmin edicinin yansızlık özelliğini taşımadığını matematiksel olarak kanıtlar.
5
Yan miktarının n→∞n \to \infty için limitini alarak asimptotik yansızlığı değerlendirin.
lim⁡n→∞1n=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 olduğu için TnT_n asimptotik olarak yansızdır.
Asimptotik yansızlık tanımı gereği, örneklem çapı sonsuza giderken yan miktarının sıfıra yakınsaması koşulu sağlanır.

Anahtar Kavram

Kaydırılmış üstel dağılımda minimum sıra istatistiğinin özellikleri ve asimptotik yansızlık
Soru 8Soru →
Bir malzemenin dayanıklılık testinde elde edilen kırılma direnci değerlerinin, 0<x<θ0 < x < \theta aralığında tanımlı ve olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x;θ)=2xθ2f(x; \theta) = \frac{2x}{\theta^2}
olan bir dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Bir araştırmacı, bu dağılımdan elde ettiği nn hacimli (n>1n > 1) bağımsız rastgele örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) üzerinden θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla en çok olabilirlik tahmin edicisi olan θ^=max⁡(X1,X2,…,Xn)\hat{\theta} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) istatistiğini kullanmaya karar veriyor.

Buna göre, θ^\hat{\theta} tahmin edicisinin beklenen değeri ve θ\theta parametresi için asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: E(θ^)=2n2n+1θE(\hat{\theta}) = \frac{2n}{2n+1}\theta olup, tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

Cevap

θ^\hat{\theta} tahmin edicisinin beklenen değeri 2n2n+1θ\frac{2n}{2n+1}\theta olduğu için yanlıdır, limit durumunda θ\theta'ya eşitlendiği için asimptotik yansızdır.
Tahmin edici olan maksimum sıra istatistiğinin beklenen değeri, kitle dağılımının özellikleri kullanılarak integralle hesaplandığında E(θ^)=2n2n+1θE(\hat{\theta}) = \frac{2n}{2n+1}\theta olarak bulunur. Bu ifade θ\theta'ya eşit olmadığından istatistik yanlı bir tahmin edicidir. Asimptotik yansızlığı incelemek için örneklem çapı sonsuza giderken limit alınmalıdır. lim⁡n→∞2n2n+1θ=1⋅θ=θ\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2n+1}\theta = 1 \cdot \theta = \theta olduğundan, tahmin edicinin beklenen değeri asimptotik olarak parametrenin gerçek değerine yakınsar ve bu nedenle asimptotik yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonunun (CDF) bulunması
F(x)=∫0x2tθ2dt=x2θ2F(x) = \int_0^x \frac{2t}{\theta^2} dt = \frac{x^2}{\theta^2}
Maksimum sıra istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonunu türetebilmek için öncelikle kitle dağılımının birikimli fonksiyonuna ihtiyaç vardır.
2
Maksimum sıra istatistiği olan θ^=X(n)\hat{\theta} = X_{(n)}'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) elde edilmesi
f(n)(x)=n[F(x)]n−1f(x)=n(x2θ2)n−1(2xθ2)=2nx2n−1θ2nf_{(n)}(x) = n[F(x)]^{n-1}f(x) = n\left(\frac{x^2}{\theta^2}\right)^{n-1}\left(\frac{2x}{\theta^2}\right) = \frac{2nx^{2n-1}}{\theta^{2n}}
Sıra istatistiklerinin teorik dönüşüm formülü kullanılarak, en büyük değerin dağılımı modellenir.
3
Tahmin edicinin beklenen değerinin hesaplanması
E(θ^)=∫0θx(2nx2n−1θ2n)dx=2nθ2n∫0θx2ndx=2nθ2n[x2n+12n+1]0θ=2n2n+1θE(\hat{\theta}) = \int_0^\theta x \left(\frac{2nx^{2n-1}}{\theta^{2n}}\right) dx = \frac{2n}{\theta^{2n}} \int_0^\theta x^{2n} dx = \frac{2n}{\theta^{2n}} \left[\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^\theta = \frac{2n}{2n+1}\theta
Sürekli rassal değişkenlerde beklenen değer formülü (E(X)=∫xf(x)dxE(X) = \int x f(x) dx) uygulanarak istatistiğin ortalama davranışı bulunur.
4
Yanlılık ve asimptotik yansızlık özelliklerinin değerlendirilmesi
E(θ^)≠θE(\hat{\theta}) \neq \theta olduğu için yanlıdır. lim⁡n→∞2n2n+1θ=θ\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2n+1}\theta = \theta olduğu için asimptotik yansızdır.
Beklenen değerin kitle parametresine sonlu örneklemde ve sonsuza giden limitte eşit olup olmadığı kontrol edilerek tahmin edicinin özellikleri netleştirilir.

Anahtar Kavram

Maksimum sıra istatistiğinin beklenen değeri ve asimptotik limit özelliklerinin incelenmesi
Soru 9Soru →

Bir belediyenin su tüketim analizi kapsamında, hanelerin günlük su kullanım miktarları ortalaması μ\mu ve varyansı σ2\sigma^2 olan bir dağılıma sahip bağımsız rastgele değişkenler (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) olarak modellenmiştir. Kurumdaki bir istatistikçi, bazı teknik kısıtlamalar nedeniyle μ\mu parametresini tahmin etmek için klasik örneklem ortalaması (Xˉ\bar{X}) yerine,

Tn=nXˉ+5n+3T_n = \frac{n\bar{X} + 5}{n + 3}

şeklinde tanımlanan yeni bir tahmin edici kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, TnT_n tahmin edicisinin yansızlık durumu hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sonlu örneklem çaplarında yanlıdır; ancak örneklem çapı sonsuza giderken beklenen değeri μ\mu'ye yakınsadığı için asimptotik olarak yansızdır.

Cevap

Tahmin edici sonlu örneklem çaplarında yanlı olsa da, örneklem çapı sonsuza giderken beklenen değeri kitlenin gerçek parametresi olan ortalamaya yakınsadığı için asimptotik olarak yansızdır.
Doğru seçenek, TnT_n tahmin edicisinin sonlu örneklemlerde E[Tn]=nμ+5n+3E[T_n] = \frac{n\mu + 5}{n + 3} olması sebebiyle yanlı olduğunu, ancak limit durumunda lim⁡n→∞nμ+5n+3=μ\lim_{n \to \infty} \frac{n\mu + 5}{n + 3} = \mu eşitliği sağlandığı için asimptotik olarak yansız olduğunu eksiksiz biçimde ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
TnT_n tahmin edicisinin beklenen değerini (E[Tn]E[T_n]) hesapla.
E[Tn]=E[nXˉ+5n+3]=nE[Xˉ]+5n+3=nμ+5n+3E[T_n] = E\left[\frac{n\bar{X} + 5}{n + 3}\right] = \frac{nE[\bar{X}] + 5}{n + 3} = \frac{n\mu + 5}{n + 3}
Yansızlık durumunu incelemek için tahmin edicinin beklenen değerinin kitle parametresine (μ\mu) eşit olup olmadığı kontrol edilmelidir.
2
Sonlu örneklem çapları için yan (bias) miktarını belirle.
Yan = E[Tn]−μ=nμ+5n+3−μ=nμ+5−nμ−3μn+3=5−3μn+3E[T_n] - \mu = \frac{n\mu + 5}{n + 3} - \mu = \frac{n\mu + 5 - n\mu - 3\mu}{n + 3} = \frac{5 - 3\mu}{n + 3}. Sonuç sıfır olmadığı için TnT_n yanlıdır.
Beklenen değer doğrudan μ\mu'ye eşit olmadığı için tahmin edicinin sonlu durumlarda yanlı olduğu matematiksel olarak gösterilmiş olur.
3
Örneklem çapı sonsuza giderken (n→∞n \to \infty) beklenen değerin limitini al.
lim⁡n→∞E[Tn]=lim⁡n→∞nμ+5n+3=lim⁡n→∞n(μ+5n)n(1+3n)=μ\lim_{n \to \infty} E[T_n] = \lim_{n \to \infty} \frac{n\mu + 5}{n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(\mu + \frac{5}{n})}{n(1 + \frac{3}{n})} = \mu
Asimptotik yansızlık, örneklem çapı sonsuza giderken tahmin edicinin beklenen değerinin gerçek parametreye yakınsaması özelliğidir.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık (Asymptotic Unbiasedness)
Soru 10Soru →

Bir epidemiyolojik çalışmada, belirli bir hastalığın görülme oranını (pp) tahmin etmek amacıyla nn çaplı bağımsız bir rastgele örneklem alınmıştır. Örneklemde hastalığı taşıyan bireylerin sayısı XX ile ifade edilmektedir. Araştırmacılar, popülasyon varyansını veren p(1−p)p(1-p) parametresini tahmin etmek için θ^n=Xn(1−Xn)\hat{\theta}_n = \frac{X}{n} \left(1 - \frac{X}{n}\right) tahmin edicisini kullanmışlardır.

Buna göre, θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisinin yansızlık ve asimptotik yansızlık özellikleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: θ^n\hat{\theta}_n, p(1−p)p(1-p) için asimptotik olarak yansız bir tahmin edicidir ve sonlu örneklemlerdeki yan miktarı −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n}'dir.

Cevap

θ^n\hat{\theta}_n, p(1−p)p(1-p) için asimptotik olarak yansız bir tahmin edicidir ve sonlu örneklemlerdeki yan miktarı −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n}'dir.
Tahmin edicinin beklenen değeri E(θ^n)=E(p^)−E(p^2)E(\hat{\theta}_n) = E(\hat{p}) - E(\hat{p}^2) olarak yazılır. Örneklem oranının varyansı p(1−p)n\frac{p(1-p)}{n} olduğundan E(p^2)=p(1−p)n+p2E(\hat{p}^2) = \frac{p(1-p)}{n} + p^2 elde edilir. Bu terim yerine konulduğunda E(θ^n)=p(1−p)−p(1−p)nE(\hat{\theta}_n) = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} bulunur. Görüldüğü gibi sonlu örneklemlerde yan miktarı −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n} olup tahmin edici yanlıdır. Ancak n→∞n \to \infty için lim⁡E(θ^n)=p(1−p)\lim E(\hat{\theta}_n) = p(1-p) olduğundan asimptotik olarak yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
XX rastgele değişkeninin dağılımını belirlemek ve p^=X/n\hat{p} = X/n için beklenen değer ile varyansı yazmak.
X∼Binom(n,p)X \sim Binom(n, p) olup, E(p^)=pE(\hat{p}) = p ve Var(p^)=p(1−p)nVar(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n} bulunur.
Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayabilmek için temel istatistiklerin bilinmesi gereklidir.
2
Varyans formülünden yararlanarak E(p^2)E(\hat{p}^2) değerini bulmak.
E(p^2)=Var(p^)+[E(p^)]2=p(1−p)n+p2E(\hat{p}^2) = Var(\hat{p}) + [E(\hat{p})]^2 = \frac{p(1-p)}{n} + p^2 elde edilir.
θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisi içerisinde yer alan p^2\hat{p}^2 teriminin beklenen değerini hesaplamak için.
3
θ^n=p^−p^2\hat{\theta}_n = \hat{p} - \hat{p}^2 tahmin edicisinin beklenen değerini hesaplayarak yan miktarını (Bias) bulmak.
E(θ^n)=E(p^)−E(p^2)=p−(p(1−p)n+p2)=p(1−p)−p(1−p)nE(\hat{\theta}_n) = E(\hat{p}) - E(\hat{p}^2) = p - \left( \frac{p(1-p)}{n} + p^2 \right) = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} hesaplanır. Yan miktarı ise E(θ^n)−p(1−p)=−p(1−p)nE(\hat{\theta}_n) - p(1-p) = -\frac{p(1-p)}{n} olur.
Tahmin edicinin sonlu örneklemlerdeki yansızlık durumunu test etmek için.
4
Örneklem çapı sonsuza giderken (n→∞n \to \infty) tahmin edicinin limitini hesaplamak.
lim⁡n→∞E(θ^n)=lim⁡n→∞[p(1−p)−p(1−p)n]=p(1−p)\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}_n) = \lim_{n \to \infty} \left[ p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} \right] = p(1-p) olarak bulunur.
Asimptotik yansızlık şartının (n→∞n \to \infty için limitin gerçek parametreye eşit olması) sağlanıp sağlanmadığını görmek için.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık ve Beklenen Değer
Soru 11Soru →

Bir fabrikada üretilen parçaların ağırlıklarının ortalaması μ\mu ve varyansı σ2\sigma^2 olan bir kitle dağılımına sahip olduğu varsayılmaktadır. μ\mu parametresini tahmin etmek amacıyla nn birimlik bir rastgele örneklem seçilmiş ve Tn=∑i=1nXin+1T_n = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n+1} tahmin edicisi önerilmiştir. Buna göre, TnT_n tahmin edicisinin asimptotik yansızlık özelliği ve yan (bias) miktarı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

Cevap

Önerilen tahmin edici sonlu örneklem hacimlerinde yanlı bir tahmin edicidir ancak örneklem hacmi sonsuza giderken beklenen değeri parametreye yakınsadığı için asimptotik yansızdır.
Doğru seçenek, tahmin edicinin her sonlu nn değeri için beklenen değerinin μ\mu'den farklı olduğunu (yanlı) ancak nn sonsuza giderken bu beklenen değerin μ\mu'ye eşitlendiğini (asimptotik yansız) ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayınız.
E(Tn)=E[∑Xin+1]=1n+1∑E(Xi)=nμn+1E(T_n) = E\left[ \frac{\sum X_i}{n+1} \right] = \frac{1}{n+1} \sum E(X_i) = \frac{n\mu}{n+1}
Beklenen değerin doğrusallık özelliği ve her bir XiX_i gözleminin beklenen değerinin μ\mu olması nedeniyle bu ifade elde edilir.
2
Tahmin edicinin yan (bias) miktarını belirleyiniz.
Bias(Tn)=E(Tn)−μ=nμn+1−μ=−μn+1Bias(T_n) = E(T_n) - \mu = \frac{n\mu}{n+1} - \mu = -\frac{\mu}{n+1}
Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki farktır. Sonuç sıfırdan farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır.
3
Asimptotik yansızlık için beklenen değerin limitini hesaplayınız.
lim⁡n→∞E(Tn)=lim⁡n→∞nμn+1=μlim⁡n→∞nn+1=μ⋅1=μ\lim_{n \rightarrow \infty} E(T_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n\mu}{n+1} = \mu \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} = \mu \cdot 1 = \mu
Örneklem hacmi sonsuza giderken beklenen değer μ\mu parametresine eşitlendiği için tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Anahtar Kavram

Asimptotik yansızlık, bir tahmin edicinin beklenen değerinin limit durumunda (n sonsuza giderken) hedef parametreye eşit olması durumudur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru →

Bir kamu araştırmasında, bir bölgedeki hanelerin belirli bir sosyal hizmetten yararlanma oranı olan pp parametresinin tahmini için Bernoulli dağılımı kullanılmaktadır. Araştırmacılar, bu oranın karesi olan p2p^2 değerini tahmin etmek amacıyla nn birimlik bağımsız ve rastgele bir örneklem üzerinden Xˉ\bar{X} örneklem ortalamasını kullanarak θ^n=Xˉ2\hat{\theta}_n = \bar{X}^2 En Çok Olabilirlik Tahmin Edicisini (MLE) önermişlerdir.

Buna göre, θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisinin yansızlık ve asimptotik yansızlık özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yanlı bir tahmin edicidir ancak asimptotik olarak yansızdır.

Cevap

Önerilen tahmin edici yanlı bir tahmin edicidir ancak asimptotik olarak yansızdır.
Doğru seçenek olan ifadeye göre tahmin edici yanlıdır çünkü sonlu bir nn değerinde beklenen değer p2+p(1−p)np^2 + \frac{p(1-p)}{n} olup hedef parametre olan p2p^2 değerinden farklıdır. Ancak nn sonsuza giderken paydadaki nn terimi nedeniyle yan miktarı olan p(1−p)n\frac{p(1-p)}{n} sıfıra gider ve beklenen değer p2p^2 olur. Bu durum asimptotik yansızlık tanımıyla tam olarak örtüşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini formüle dökün.
E(θ^n)=E(Xˉ2)=Var(Xˉ)+[E(Xˉ)]2E(\hat{\theta}_n) = E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2
Bir rastgele değişkenin karesinin beklenen değeri, varyansı ile beklenen değerinin karesinin toplamına eşittir.
2
Bernoulli dağılımı için gerekli istatistikleri yerine koyun.
E(Xˉ)=pE(\bar{X}) = p ve Var(Xˉ)=p(1−p)nVar(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n} olduğu için E(Xˉ2)=p(1−p)n+p2E(\bar{X}^2) = \frac{p(1-p)}{n} + p^2 bulunur.
Örneklem ortalamasının beklenen değeri kitle ortalamasına, varyansı ise kitle varyansının örneklem çapına bölümüne eşittir.
3
Yansızlık ve asimptotik yansızlık şartlarını kontrol edin.
E(θ^n)≠p2E(\hat{\theta}_n) \neq p^2 olduğundan yanlıdır; lim⁡n→∞E(θ^n)=lim⁡n→∞(p(1−p)n+p2)=p2\lim_{n \rightarrow \infty} E(\hat{\theta}_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{p(1-p)}{n} + p^2) = p^2 olduğundan asimptotik yansızdır.
nn değeri arttıkça yan miktarı (p(1−p)n \frac{p(1-p)}{n}) sıfıra yaklaşmaktadır.

Anahtar Kavram

Asimptotik yansızlık, bir tahmin edicinin beklenen değerinin örneklem hacmi sonsuza giderken hedef parametreye eşit olması durumudur.
Soru 13Soru →

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen veri analizi çalışmasında, kitle ortalaması μ\mu parametresini tahmin etmek amacıyla nn birimlik bir örneklem üzerinden μ^=Xˉ+3n\hat{\mu} = \bar{X} + \frac{3}{n} tahmin edicisi tanımlanmıştır. Buna göre, bu tahmin edicinin yanlılık ve asimptotik yansızlık özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik olarak yansızdır.

Cevap

Tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik olarak yansızdır.
Verilen tahmin edicinin beklenen değeri hesaplandığında E(μ^)=μ+3/nE(\hat{\mu}) = \mu + 3/n sonucu elde edilir. Bu sonuç μ\mu parametresine eşit olmadığı için tahmin edici yanlıdır. Ancak, örneklem hacmi (nn) sonsuza giderken 3/n3/n ifadesi sıfıra yaklaştığından, beklenen değerin limiti μ\mu olur. Bu durum, tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayın.
E(μ^)=E(Xˉ+3n)=E(Xˉ)+3n=μ+3nE(\hat{\mu}) = E(\bar{X} + \frac{3}{n}) = E(\bar{X}) + \frac{3}{n} = \mu + \frac{3}{n}
Beklenen değer operatörünün lineerlik özelliğini kullanarak her bir terimin beklenen değeri alınır.
2
Yanlılık durumunu kontrol edin.
E(μ^)−μ=3n≠0E(\hat{\mu}) - \mu = \frac{3}{n} \neq 0
Beklenen değer kitle parametresine eşit olmadığı için tahmin edici yanlıdır.
3
Örneklem hacmi sonsuza giderken beklenen değerin limitini alın.
lim⁡n→∞E(μ^)=lim⁡n→∞(μ+3n)=μ+0=μ\lim_{n \to \infty} E(\hat{\mu}) = \lim_{n \to \infty} (\mu + \frac{3}{n}) = \mu + 0 = \mu
Asimptotik yansızlık için beklenen değerin limitinin parametreye eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık Tanımı
Tahmini Süre:45s
Soru 14Soru →

Bir kamu araştırmasında kullanılan θ\theta parametresine ait θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisinin beklenen değeri E(θ^n)=θ+4nE(\hat{\theta}_n) = \theta + \frac{4}{n} olarak belirlenmiştir. Buna göre, bu tahmin edicinin asimptotik yansızlık özelliği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmin edici asimptotik yansızdır çünkü n→∞n \rightarrow \infty iken beklenen değerin limiti θ\theta parametresine eşittir.

Cevap

Tahmin edici asimptotik yansızdır çünkü örneklem hacmi sonsuza giderken beklenen değer parametrenin kendisine eşittir.
Verilen tahmin edicinin beklenen değeri E(θ^n)=θ+4nE(\hat{\theta}_n) = \theta + \frac{4}{n} şeklindedir. n→∞n \rightarrow \infty iken 4n\frac{4}{n} terimi 00'a gideceği için beklenen değerin limiti θ\theta olur. Bu durum, asimptotik yansızlık tanımını tam olarak karşılar.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerinin limitini n→∞n \rightarrow \infty için hesaplayın.
lim⁡n→∞E(θ^n)=lim⁡n→∞(θ+4n)\lim_{n \rightarrow \infty} E(\hat{\theta}_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \theta + \frac{4}{n} \right)
Asimptotik yansızlığı kontrol etmek için beklenen değerin limitine bakılması gerekir.
2
Limit işlemini sonuçlandırın.
θ+0=θ\theta + 0 = \theta
nn sonsuza giderken 4n\frac{4}{n} terimi sıfıra yakınsar.
3
Limit sonucunu kitle parametresi ile karşılaştırın.
Limit değeri kitle parametresi olan θ\theta'ya eşit olduğu için tahmin edici asimptotik yansızdır.
Bir tahmin edicinin beklenen değerinin limiti parametrenin kendisine eşitse o tahmin edici asimptotik yansız kabul edilir.

Anahtar Kavram

Asimptotik yansızlık, bir tahmin edicinin beklenen değerinin örneklem hacmi sonsuza giderken hedef parametreye yaklaşmasıdır.

İpuçları

1
Asimptotik yansızlık için tahmin edicinin beklenen değerinin limitini almanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Yanlılık (bias) miktarının limitinin sıfır olup olmadığını kontrol ederek de aynı sonuca varabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 15Soru →

Bir parametre tahmin çalışmasında, örneklem çapı nn olan bir kitle için θ\theta parametresinin θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisinin beklenen değeri E(θ^n)=(1−5n)θE(\hat{\theta}_n) = \left(1 - \frac{5}{n}\right)\theta şeklinde ifade edilmektedir.

Buna göre, söz konusu tahmin edici için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Beklenen değerin limiti θ\theta olduğu için asimptotik yansızlık özelliği sağlanır ancak her nn için yanlıdır.

Cevap

Beklenen değerin limiti parametrenin kendisine eşit olduğu için asimptotik yansızlık özelliği sağlanır ancak sonlu örneklemlerde yanlıdır.
Tahmin edicinin beklenen değeri E(θ^n)=θ−5θ/nE(\hat{\theta}_n) = \theta - 5\theta/n olarak verilmiştir. Bu ifade θ\theta değerinden farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır. Ancak örneklem çapı nn sonsuza giderken 5θ/n5\theta/n terimi sıfıra yaklaştığından, beklenen değerin limiti θ\theta olur. Bu durum tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin yanlı olup olmadığını kontrol etmek için beklenen değerini inceleyin.
E(θ^n)=θ−5θnE(\hat{\theta}_n) = \theta - \frac{5\theta}{n}
Bir tahmin edicinin yansız olması için beklenen değerinin tahmin edilen parametreye eşit olması gerekir.
2
Yan (bias) miktarını hesaplayın.
B(θ^n)=E(θ^n)−θ=−5θnB(\hat{\theta}_n) = E(\hat{\theta}_n) - \theta = -\frac{5\theta}{n}
Yan miktarı sıfırdan farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır.
3
Asimptotik yansızlık özelliği için beklenen değerin n→∞n \rightarrow \infty iken limitini hesaplayın.
lim⁡n→∞E(θ^n)=lim⁡n→∞(θ−5θn)=θ\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}_n) = \lim_{n \to \infty} \left( \theta - \frac{5\theta}{n} \right) = \theta
Limit değeri parametrenin kendisine (θ\theta) eşit olduğundan asimptotik yansızlık şartı sağlanır.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık
Tahmini Süre:45s
Soru 16Soru →

Bir θ\theta parametresinin tahmini için kullanılan bir θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisinin beklenen değeri E(θ^n)=n−5nθE(\hat{\theta}_n) = \frac{n-5}{n} \theta olarak verilmiştir.

Buna göre, bu tahmin edicinin asimptotik yansızlık özelliği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Cevap

Tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.
Tahmin edicinin beklenen değerinin limiti n→∞n \to \infty durumunda parametrenin kendisine (θ\theta) eşit çıktığı için, asimptotik yansızlık tanımı gereği bu ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerinin nn sonsuza giderkenki limitini kurun.
lim⁡n→∞E(θ^n)=lim⁡n→∞(n−5nθ)\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}_n) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n-5}{n} \theta \right)
Asimptotik yansızlığın tanımı gereği beklenen değerin limit davranışı incelenmelidir.
2
Limit işlemini gerçekleştirin.
lim⁡n→∞(1−5n)θ=(1−0)θ=θ\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{5}{n} \right) \theta = (1 - 0) \theta = \theta
nn değeri sonsuza giderken 5n\frac{5}{n} terimi sıfıra yakınsar.
3
Bulunan limiti asimptotik yansızlık tanımı ile karşılaştırın.
Limit θ\theta olduğu için tahmin edici asimptotik yansızdır.
Limitin parametrenin kendisine eşit olması, tahmin edicinin örneklem büyüdükçe yansızlaştığını gösterir.

Anahtar Kavram

Bir θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisi için lim⁡n→∞E(θ^n)=θ\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}_n) = \theta şartı sağlanıyorsa, bu tahmin edici θ\theta için asimptotik olarak yansızdır.
Soru 17Soru →

Bir istatistik uzmanı, (0,θ)(0, \theta) aralığında düzgün (üniform) dağılıma sahip bir kitleden nn hacimli bağımsız bir rastgele örneklem çekmiştir. Bu örneklemdeki en büyük değeri veren X(n)=max⁡(X1,X2,…,Xn)X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) sıra istatistiğini, bilinmeyen θ\theta parametresi için bir tahmin edici olarak önermiştir.

Bu tahmin edicinin beklenen değeri E(X(n))=nn+1θE(X_{(n)}) = \frac{n}{n+1}\theta olarak hesaplanmıştır.

Tahmin edicinin yan miktarı (bias) ve n→∞n \to \infty iken limit durumu dikkate alındığında, X(n)X_{(n)} tahmin edicisinin özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmin edici yanlıdır, ancak lim⁡n→∞E(X(n))=θ\lim_{n \to \infty} E(X_{(n)}) = \theta eşitliği sağlandığı için asimptotik olarak yansızdır.

Cevap

Tahmin edicinin yanlı olduğu ancak limit durumunda beklenen değerin parametreye eşit olması sebebiyle asimptotik yansız olduğunu belirten ifadedir.
Verilen E(X(n))=nn+1θE(X_{(n)}) = \frac{n}{n+1}\theta eşitliği θ\theta'ya tam eşit olmadığı için tahmin edici sonlu örneklemlerde yanlıdır. Ancak örneklem hacmi büyüdükçe (n→∞n \to \infty) katsayı olan nn+1\frac{n}{n+1} ifadesi 1'e yakınsar ve limit değeri θ\theta olur. Bu durum istatistiksel olarak tahmin edicinin asimptotik yansızlık özelliğini sağladığını gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin yansızlık koşulunu kontrol et.
E(X(n))=nn+1θ≠θE(X_{(n)}) = \frac{n}{n+1}\theta \neq \theta olduğu görülür.
Bir tahmin edicinin yansız olabilmesi için beklenen değerinin tam olarak tahmin edilen parametreye eşit olması gerekir. Eşitlik sağlanmadığından tahmin edici yanlıdır.
2
Tahmin edicinin yan miktarını (bias) hesapla.
Yan(X(n))=E(X(n))−θ=nn+1θ−θ=−θn+1Yan(X_{(n)}) = E(X_{(n)}) - \theta = \frac{n}{n+1}\theta - \theta = -\frac{\theta}{n+1} elde edilir.
Yan miktarının fonksiyonel formunu bulmak, limit durumunu incelemek için gereklidir.
3
Asimptotik yansızlık için limit durumunu değerlendir.
lim⁡n→∞E(X(n))=lim⁡n→∞nn+1θ=θ\lim_{n \to \infty} E(X_{(n)}) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}\theta = \theta veya lim⁡n→∞Yan(X(n))=lim⁡n→∞−θn+1=0\lim_{n \to \infty} Yan(X_{(n)}) = \lim_{n \to \infty} -\frac{\theta}{n+1} = 0 bulunur.
Örneklem hacmi sonsuza giderken (n→∞n \to \infty) yan miktarının sıfıra yaklaşması (veya beklenen değerin parametreye yaklaşması) tahmin edicinin asimptotik yansız olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık (Asymptotic Unbiasedness)
Soru 18Soru →

Bir trafik sigortası portföyünde günlük meydana gelen hasar adetleri, λ>0\lambda > 0 parametreli Poisson dağılımına uymaktadır. Şirket, belirli bir günde hiç hasar yaşanmama olasılığını, yani θ=P(X=0)=e−λ\theta = P(X=0) = e^{-\lambda} değerini tahmin etmek istemektedir.

nn günlük bağımsız rastgele örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olmak üzere, θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi θ^=e−Xˉ\hat{\theta} = e^{-\bar{X}} olarak verilmiştir. (Burada Xˉ\bar{X} örneklem ortalamasıdır.)

Buna göre, θ^\hat{\theta} tahmin edicisinin beklenen değeri E(θ^)E(\hat{\theta}) ve asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: E(θ^)=e−nλ(1−e−1/n)E(\hat{\theta}) = e^{-n\lambda(1-e^{-1/n})} olup, θ^\hat{\theta} asimptotik yansızdır.

Cevap

Doğru ifade E(θ^)=e−nλ(1−e−1/n)E(\hat{\theta}) = e^{-n\lambda(1-e^{-1/n})} şeklindedir ve limit değeri parametreye eşit olduğu için asimptotik yansızdır.
Beklenen değer hesabı bağımsız rassal değişkenlerin toplamının özelliklerinden faydalanılarak moment çıkaran fonksiyon üzerinden MY(−1/n)M_Y(-1/n) olarak hatasız biçimde çıkarılır. Asimptotik özellik ise üssün limiti alınırken L'Hopital kuralı (veya Taylor açılımı) kullanılarak −1-1 sonucuna ulaşılması ve en nihayetinde limitin θ=e−λ\theta = e^{-\lambda} çıkmasıyla kanıtlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini toplam sembolü cinsinden yazmak.
E(θ^)=E(e−Xˉ)=E(e−1n∑Xi)E(\hat{\theta}) = E(e^{-\bar{X}}) = E(e^{-\frac{1}{n}\sum X_i}) biçiminde ifade edilir.
Bağımsız gözlemlerin dağılımsal özelliklerini (moment çıkaran fonksiyon) kullanabilmek için ifadeyi ∑Xi\sum X_i formatına getirmek gerekir.
2
Toplamın dağılımını belirleyerek moment çıkaran fonksiyondan (MGF) yararlanmak.
Y=∑i=1nXiY = \sum_{i=1}^{n} X_i dersek, bağımsızlık gereği Y∼Poisson(nλ)Y \sim \text{Poisson}(n\lambda) olur. Poisson dağılımı için MGF formülü MY(t)=E(etY)=enλ(et−1)M_Y(t) = E(e^{tY}) = e^{n\lambda(e^t - 1)} şeklindedir.
Üstel bir fonksiyonun beklenen değeri, değişkenin MGF formülünde uygun tt değerinin yerine konmasıyla doğrudan bulunur.
3
MGF formülünde t yerine uygun değeri koyarak E(θ^)E(\hat{\theta}) hesaplamak.
t=−1/nt = -1/n alınarak E(e−1nY)=MY(−1/n)=enλ(e−1/n−1)=e−nλ(1−e−1/n)E(e^{-\frac{1}{n}Y}) = M_Y(-1/n) = e^{n\lambda(e^{-1/n} - 1)} = e^{-n\lambda(1-e^{-1/n})} bulunur.
Böylece tahmin edicinin her nn örneklem çapı için kesin beklenen değeri elde edilmiş olur.
4
n→∞n \to \infty için beklenen değerin limitini almak.
Üssün limitini inceleyelim: lim⁡n→∞n(e−1/n−1)\lim_{n \to \infty} n(e^{-1/n} - 1). u=1/nu = 1/n dönüşümü yapıldığında n→∞n \to \infty iken u→0u \to 0 olur. Limit lim⁡u→0e−u−1u\lim_{u \to 0} \frac{e^{-u} - 1}{u} halini alır. L'Hopital kuralıyla türevler alındığında lim⁡u→0−e−u1=−1\lim_{u \to 0} \frac{-e^{-u}}{1} = -1 bulunur. Üs limit değeri −λ-\lambda olur.
Asimptotik yansızlığı kontrol etmek için beklenen değerin asimptotik limitinin (sonsuzdaki durumunun) hesaplanması zorunludur.
5
Bulunan limiti gerçek parametre ile karşılaştırarak karara varmak.
lim⁡n→∞E(θ^)=e−λ=θ\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}) = e^{-\lambda} = \theta olarak elde edilir. Beklenen değerin limiti gerçek parametreye eşit olduğu için θ^\hat{\theta} asimptotik yansızdır.
Asimptotik yansızlık tanımı, limit değerinin araştırılan parametreye mutlak eşitliğini gerektirir.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık ve Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF)

Alternatif Yöntem

Limit hesabında L'Hopital yerine Maclaurin/Taylor serisi açılımı kullanılabilir: e−1/n≈1−1n+12n2e^{-1/n} \approx 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{2n^2}. Buradan n(e−1/n−1)=n(−1/n)=−1n(e^{-1/n} - 1) = n(-1/n) = -1 asimptotik davranışına çok daha pratik şekilde ulaşılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 19Soru →

Bir araştırmacı, normal dağılıma sahip olduğu bilinen bir popülasyondan nn (n≥2n \ge 2) birimlik bir rastgele örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) almıştır. Popülasyonun beklenen değeri (μ\mu) ve varyansı (σ2\sigma^2) araştırmacı tarafından bilinmemektedir.

Araştırmacı, dağılımın varyansının karesini (yani θ=σ4\theta = \sigma^4 parametresini) tahmin etmek istemekte ve bunun için en çok olabilirlik (maximum likelihood) tahmin edicisi olan Tn=(1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2)2T_n = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right)^2 istatistiğini önermektedir.

Buna göre, TnT_n tahmin edicisinin beklenen değeri E(Tn)E(T_n) ve asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: E(Tn)=n2−1n2σ4E(T_n) = \frac{n^2 - 1}{n^2}\sigma^4 ; Asimptotik olarak yansızdır.

Cevap

Doğru yanıt, beklenen değerin (n2−1)/n2⋅σ4(n^2 - 1)/n^2 \cdot \sigma^4 olduğu ve tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğunu belirten seçenektir.
Varyansın en çok olabilirlik tahmin edicisi kitle varyansı ile oranlandığında χn−12\chi^2_{n-1} dağılımına uyar. İstatistiğin karesi alındığı için çözüm χn−12\chi^2_{n-1} dağılımının ikinci momentini (varyans ve beklenen değerin karesinin toplamı) gerektirir. Bu moment (n2−1)(n^2-1) olarak bulunur. Katsayılar yerine konduğunda beklenen değer n2−1n2σ4\frac{n^2 - 1}{n^2} \sigma^4 çıkar. Örneklem çapı (nn) sonsuza giderken n2−1n2\frac{n^2-1}{n^2} ifadesi 1'e yakınsar, bu da tahmin edicinin limit durumunda gerçek parametre olan σ4\sigma^4'ü verdiğini ve dolayısıyla asimptotik olarak yansız olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Varyansın en çok olabilirlik tahmin edicisinin (σ^2\hat{\sigma}^2) dağılımını belirle.
Biliyoruz ki nσ^2σ2=∑i=1n(Xi−Xˉ)2σ2∼χn−12\frac{n \hat{\sigma}^2}{\sigma^2} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} dağılımına sahiptir.
Normal dağılımdan gelen rastgele örneklemlerde, örneklem varyansı ile kitle varyansı arasındaki bu oran her zaman n−1n-1 serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı gösterir.
2
TnT_n istatistiğini Ki-kare rastgele değişkeni (YY) cinsinden yaz.
Y∼χn−12Y \sim \chi^2_{n-1} dersek, Tn=(σ^2)2=(σ2Yn)2=σ4n2Y2T_n = (\hat{\sigma}^2)^2 = \left( \frac{\sigma^2 Y}{n} \right)^2 = \frac{\sigma^4}{n^2} Y^2 olur.
Beklenen değer hesaplamasını standart bir dağılımın (Ki-kare) momentleri üzerinden yapabilmek için dönüşüm gereklidir.
3
Ki-kare dağılımının ikinci momentini (E(Y2)E(Y^2)) hesapla.
Y∼χn−12Y \sim \chi^2_{n-1} için E(Y)=n−1E(Y) = n-1 ve Var(Y)=2(n−1)Var(Y) = 2(n-1)'dir. E(Y2)=Var(Y)+[E(Y)]2=2(n−1)+(n−1)2=2n−2+n2−2n+1=n2−1E(Y^2) = Var(Y) + [E(Y)]^2 = 2(n-1) + (n-1)^2 = 2n - 2 + n^2 - 2n + 1 = n^2 - 1 bulunur.
Herhangi bir YY rastgele değişkeni için ikinci moment, varyans ile beklenen değerin karesinin toplamına eşittir.
4
TnT_n'nin beklenen değerini hesapla.
E(Tn)=σ4n2E(Y2)=σ4n2(n2−1)=n2−1n2σ4E(T_n) = \frac{\sigma^4}{n^2} E(Y^2) = \frac{\sigma^4}{n^2} (n^2 - 1) = \frac{n^2 - 1}{n^2} \sigma^4 elde edilir.
Sabit katsayılar beklenen değer operatörünün dışına çıkarılarak nihai değer bulunur.
5
Asimptotik yansızlık durumunu n→∞n \to \infty limitini alarak kontrol et.
lim⁡n→∞E(Tn)=lim⁡n→∞(1−1n2)σ4=σ4\lim_{n \to \infty} E(T_n) = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) \sigma^4 = \sigma^4. Limit değeri σ4\sigma^4'e eşit olduğundan TnT_n asimptotik olarak yansızdır.
Bir tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olması için, örneklem çapı sonsuza giderken beklenen değerinin tahmin edilen parametreye eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

İstatistiklerin Beklenen Değeri ve Asimptotik Yansızlık