Ortalaması \mu ve varyansı \sigma^2 olan bir kütleden alınan n hacimli (n > 1) bağımsız ve… — KPSS İstatistik

Ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir kütleden alınan $n$ hacimli ( $n > 1$ ) bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ ile gösterilsin. Kütle ortalamasının karesi olan $\theta = \mu^2$ parametresinin tahmini için,

T_n = \bar{X}^2 - \frac{\hat{\sigma}^2}{n}

istatistiği önerilmiştir. Burada $\bar{X}$ örneklem ortalamasını ve $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ ise kütle varyansının en çok olabilirlik tahmin edicisini ifade etmektedir.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin $\theta = \mu^2$ parametresi için yan miktarı (bias) ve asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

A
Yan miktarı $0$ 'dır, yansız ve asimptotik yansızdır.
B
Yan miktarı $\frac{\sigma^2}{n}$ 'dir, yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.
Yan miktarı $\frac{\sigma^2}{n^2}$ 'dir, yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.Cevap
D
Yan miktarı $-\frac{\sigma^2}{n^2}$ 'dir, yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.
E
Yan miktarı $\frac{\sigma^2}{n-1}$ 'dir, yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

Cevap

Doğru seçenek, yan miktarının

\frac{\sigma^2}{n^2}

olduğunu ve tahmin edicinin asimptotik yansız olduğunu belirten seçenektir.

Tahmin edicinin beklenen değeri

E[T_n] = E[\bar{X}^2] - \frac{1}{n}E[\hat{\sigma}^2]

formülü ile hesaplanır. İlk olarak,

E[\bar{X}^2] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}

eşitsizliği bilinmelidir. İkinci terimde yer alan

\hat{\sigma}^2

en çok olabilirlik varyans tahmin edicisi olduğu için beklenen değeri

\frac{n-1}{n}\sigma^2

'dir. Bunlar denklemde yerine konulduğunda,

E[T_n] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n} - \frac{n-1}{n^2}\sigma^2 = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n^2}

elde edilir. Parametremiz

\theta = \mu^2

olduğundan yan miktarı

E[T_n] - \theta = \frac{\sigma^2}{n^2}

olur.

n

sonsuza giderken bu yan miktarı limit olarak sıfıra yaklaştığı için tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik olarak yansızdır.

Adım Adım Çözüm

\bar{X}^2

'nin beklenen değerinin hesaplanması

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2

Yan miktarını bulmak için

T_n

tahmin edicisini oluşturan terimlerin ayrı ayrı beklenen değerleri bulunmalıdır.

\hat{\sigma}^2

'nin beklenen değerinin bulunması

\hat{\sigma}^2 = \frac{n-1}{n} S^2

olduğundan,

E[\hat{\sigma}^2] = \frac{n-1}{n} \sigma^2

olur.

En çok olabilirlik varyans tahmin edicisi yanlıdır ve beklenen değeri kütle varyansının

\frac{n-1}{n}

katıdır.

T_n

'nin beklenen değerinin ve yan miktarının hesaplanması

E[T_n] = E[\bar{X}^2] - \frac{1}{n}E[\hat{\sigma}^2] = \left(\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}\right) - \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\sigma^2\right) = \mu^2 + \frac{n\sigma^2 - (n-1)\sigma^2}{n^2} = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n^2}

. Yan miktarı

= E[T_n] - \theta = \frac{\sigma^2}{n^2}

Tahmin edicinin beklenen değerinden, tahmin edilen gerçek parametrenin (

\mu^2

) çıkarılması yan miktarını (bias) verir.

Asimptotik yansızlık durumunun incelenmesi

\lim_{n \to \infty} Yan(T_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sigma^2}{n^2} = 0

. Tahmin edici asimptotik yansızdır.

Örneklem hacmi sonsuza giderken yan miktarı sıfıra yakınsıyorsa, söz konusu tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Anahtar Kavram

Yan Miktarı (Bias) ve Asimptotik Yansızlık

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru