Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAsimptotik Yansızlık

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n (n>1)(n>1) ortalaması μ\mu ve varyansı σ2\sigma^2 olan bir kitleden çekilmiş bağımsız rastgele örneklem olsun. Kitle varyansının en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) σ^2=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 eşitliği ile verilmektedir.

Bu tahmin edicinin asimptotik yansızlığı ve özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Beklenen değeri E(σ^2)=n−1nσ2E(\hat{\sigma}^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2 olup sonlu örneklemlerde yanlıdır, ancak lim⁡n→∞E(σ^2)=σ2\lim_{n\to\infty} E(\hat{\sigma}^2) = \sigma^2 olduğundan asimptotik yansızdır.Cevap
  2. B
    En çok olabilirlik tahmin edicileri değişmezlik özelliğine sahip olduğundan, her nn örneklem çapı için yansızdır ve asimptotik durum incelenmez.
  3. C
    Asimptotik yansız olabilmesi için tahmin edicinin sonlu örneklemlerde de mutlaka yansız olması gerekir, bu nedenle σ^2\hat{\sigma}^2 asimptotik yansız değildir.
  4. D
    Tahmin edici yanlı olduğundan Hata Kareler Ortalaması (MSE) doğrudan varyansına eşittir ve yan miktarı hesaplanamadığından asimptotik limit değeri bulunamaz.
  5. E
    Asimptotik yansızlık kavramı sadece tutarlı tahmin edicilerin yansızlığını tanımladığı için, başlangıçta yanlı olan bu tahmin edici asimptotik yansızlık özelliği gösteremez.

Cevap

Doğru ifade, tahmin edicinin beklenen değerinin ((n-1)/n)σ² olduğunu, sonlu örneklemde yanlı iken limit durumunda beklenen değerin σ²'ye eşitlenmesi sebebiyle asimptotik yansız olduğunu belirten seçenektir.
Doğru yanıt, en çok olabilirlik varyans tahmin edicisinin matematiksel gerçekliğine tam olarak uygundur. nn paydalı tahmin edicinin beklenen değeri n−1nσ2\frac{n-1}{n}\sigma^2 olduğundan sonlu düzeyde yanlıdır. Ancak asimptotik yansızlık tanımı lim⁡n→∞E(θ^n)=θ\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}_n) = \theta şeklindedir ve bu limit alındığında lim⁡n→∞n−1nσ2=σ2\lim_{n\to\infty} \frac{n-1}{n}\sigma^2 = \sigma^2 eşitliği sağlandığı için tahmin edici asimptotik yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen varyans tahmin edicisinin (MLE) beklenen değerini matematiksel olarak incele.
E(σ^2)=E(1n∑(Xi−Xˉ)2)=n−1nσ2E(\hat{\sigma}^2) = E\left(\frac{1}{n} \sum (X_i - \bar{X})^2\right) = \frac{n-1}{n}\sigma^2
Örneklem varyansı (S2S^2) paydada n−1n-1 bulundurduğunda yansızdır. MLE formülünde ise payda nn olduğu için, yansız varyans değerinin n−1n\frac{n-1}{n} katı elde edilir.
2
Sonlu bir nn değeri için yansızlık şartının sağlanıp sağlanmadığını kontrol et.
Yan (Bias) = E(σ^2)−σ2=n−1nσ2−σ2=−σ2n≠0E(\hat{\sigma}^2) - \sigma^2 = \frac{n-1}{n}\sigma^2 - \sigma^2 = -\frac{\sigma^2}{n} \neq 0
Beklenen değer doğrudan parametre σ2\sigma^2'ye eşit çıkmadığı ve aralarında bir yan miktarı bulunduğu için tahmin edici küçük örneklemlerde yanlıdır.
3
Asimptotik yansızlık tanımını uygulamak için örneklem çapı nn sonsuza giderken limit al.
lim⁡n→∞E(σ^2)=lim⁡n→∞n−1nσ2=1⋅σ2=σ2\lim_{n \to \infty} E(\hat{\sigma}^2) = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{n}\sigma^2 = 1 \cdot \sigma^2 = \sigma^2
Örneklem çapı sonsuza giderken tahmin edicinin beklenen değeri kitle parametresine (σ2\sigma^2) yaklaşmaktadır. Limit tanımı gereği lim⁡n→∞Bias(σ^2)=0\lim_{n \to \infty} Bias(\hat{\sigma}^2) = 0 olduğu için tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık (Asymptotic Unbiasedness)
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Asimptotik Yansızlık

Bu konudan daha fazla soru