Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOtokovaryans Fonksiyonu ve Özellikleri

Durağanlık özellikleri taşıyan bir zaman serisinde, ardışık gözlemler arasındaki ilişkinin yapısını tanımlayan otokovaryans fonksiyonuna (γk\gamma_k) dair bazı değerler elde edilmiştir. Serinin sıfır gecikmedeki otokovaryansı γ0=16\gamma_0 = 16 ve ikinci gecikmedeki otokovaryansı γ2=−8\gamma_2 = -8 olarak saptandığına göre, otokovaryans fonksiyonunun özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  1. A
    Serinin varyans değeri 16'dır.
  2. B
    Fonksiyonun simetri özelliği gereği γ−2=−8\gamma_{-2} = -8 değerine eşittir.
  3. C
    Serinin ikinci gecikmedeki otokorelasyon katsayısı ρ2=−0,5\rho_2 = -0,5 olarak hesaplanır.
  4. Fonksiyonun alabileceği değer aralığına göre γ1=20\gamma_1 = 20 olması mümkündür.Cevap
  5. E
    Sürecin zayıf durağan olması nedeniyle otokovaryans değerleri zaman indisi tt'den bağımsızdır.

Cevap

Otokovaryans fonksiyonunun herhangi bir gecikmedeki değeri mutlak değerce varyans değerini (γ0\gamma_0) aşamayacağı için γ1=20\gamma_1 = 20 olması mümkün değildir.
Otokovaryans fonksiyonunun temel özelliklerinden biri olan sınırlılık kuralına göre, herhangi bir kk gecikmesi için ∣γk∣≤γ0|\gamma_k| \leq \gamma_0 eşitsizliği geçerlidir. Soru metninde γ0=16\gamma_0 = 16 olarak verildiğinden, fonksiyonun alabileceği maksimum mutlak değer 16'dır. Dolayısıyla, γ1=20\gamma_1 = 20 ifadesi bu temel matematiksel kısıtla çelişmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Varyans değerini belirle
γ0=16\gamma_0 = 16
Otokovaryans fonksiyonunda sıfır gecikme (γ0\gamma_0), serinin varyansına (Var(Xt)Var(X_t)) karşılık gelir.
2
Simetri özelliğini kontrol et
γ−2=γ2=−8\gamma_{-2} = \gamma_2 = -8
Otokovaryans fonksiyonu simetrik (çift) bir fonksiyondur, bu nedenle pozitif ve negatif gecikmeler aynı değeri alır.
3
Otokorelasyon katsayısını hesapla
ρ2=−8/16=−0,5\rho_2 = -8 / 16 = -0,5
Otokorelasyon (ρk\rho_k), otokovaryansın varyansa oranlanmasıyla (γk/γ0\gamma_k / \gamma_0) elde edilir.
4
Sınırlılık (Cauchy-Schwarz) özelliğini uygula
∣γk∣≤γ0⇒∣γ1∣≤16|\gamma_k| \leq \gamma_0 \Rightarrow |\gamma_1| \leq 16
Matematiksel olarak otokovaryans fonksiyonu her zaman varyans değeri ile sınırlıdır; ∣γk∣≤γ0|\gamma_k| \leq \gamma_0 eşitsizliği korunmalıdır.

Anahtar Kavram

Otokovaryans Fonksiyonunun Sınırlılık Özelliği (∣γk∣≤γ0|\gamma_k| \leq \gamma_0)
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Otokovaryans Fonksiyonu ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru