Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOtokovaryans Fonksiyonu ve Özellikleri

Zayıf durağan (kovaryans durağan) bir {Xt}\{X_t\} stokastik süreci için tanımlanan otokovaryans fonksiyonu γ(k)=Cov(Xt,Xt−k)\gamma(k) = Cov(X_t, X_{t-k}) ile ilgili yapılan aşağıdaki saptamalardan hangisi, kuramsal olarak mümkün değildir?

  1. A
    Herhangi bir kk gecikmesi için otokovaryans değerinin negatif bir sayı (γ(k)<0)(\gamma(k) < 0) olarak hesaplanması
  2. B
    Fonksiyonun simetri özelliğine sahip olması, yani her kk için γ(k)=γ(−k)\gamma(k) = \gamma(-k) eşitliğinin sağlanması
  3. C
    Sıfır gecikmedeki otokovaryans değerinin (γ(0))(\gamma(0)), sürecin varyansına (Var(Xt))(Var(X_t)) eşit olması
  4. Belirli bir kk gecikmesi için otokovaryansın mutlak değerinin (∣γ(k)∣=15)(|\gamma(k)| = 15), varyans değerinden (γ(0)=12)(\gamma(0) = 12) daha büyük olmasıCevap
  5. E
    γ(k)\gamma(k) değerlerinin zaman indisinden (t)(t) bağımsız olup sadece gecikme miktarına (k)(k) bağlı olması

Cevap

Herhangi bir kk gecikmesi için otokovaryansın mutlak değerinin varyans değerinden büyük olması (∣γ(k)∣>γ(0))(\lvert\gamma(k)\rvert > \gamma(0)) kuramsal olarak imkansızdır.
Zayıf durağan bir süreçte otokovaryans fonksiyonu ∣γ(k)∣≤γ(0)|\gamma(k)| \leq \gamma(0) eşitsizliğini sağlamak zorundadır. Bu özellik, fonksiyonun k=0k=0 noktasında mutlak maksimum değerine ulaştığı anlamına gelir. Dolayısıyla herhangi bir gecikmedeki otokovaryans değerinin mutlak olarak varyanstan (sıfır gecikmedeki değerden) büyük olması mümkün değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Otokovaryans fonksiyonunun tanımını ve varyansla ilişkisini belirleme
γ(0)=Cov(Xt,Xt)=Var(Xt)\gamma(0) = Cov(X_t, X_t) = Var(X_t)
Sıfır gecikmedeki otokovaryans, değişkenin kendisiyle olan kovaryansıdır ve varyansı verir.
2
Cauchy-Schwarz eşitsizliğini otokovaryans üzerine uygulama
∣Cov(Xt,Xt−k)∣≤Var(Xt)Var(Xt−k)|Cov(X_t, X_{t-k})| \leq \sqrt{Var(X_t) Var(X_{t-k})}
İki rassal değişken arasındaki kovaryansın mutlak değeri, standart sapmalarının çarpımından büyük olamaz.
3
Zayıf durağanlık varsayımı altında varyansın sabitliğini kullanma
Var(Xt)=Var(Xt−k)=γ(0)Var(X_t) = Var(X_{t-k}) = \gamma(0) olduğu için ∣γ(k)∣≤γ(0)γ(0)=γ(0)|\gamma(k)| \leq \sqrt{\gamma(0) \gamma(0)} = \gamma(0)
Durağan süreçlerde varyans zamana göre değişmez, bu nedenle her gecikme için aynıdır.
4
Seçeneklerdeki sayısal veriyi kontrol etme
∣γ(k)∣=15|\gamma(k)| = 15 ve γ(0)=12\gamma(0) = 12 durumu 15≤1215 \leq 12 eşitsizliğini gerektirir ki bu matematiksel olarak yanlıştır.
Kuramsal sınır ihlal edildiği için bu durum mümkün değildir.

Anahtar Kavram

Otokovaryans fonksiyonunun sınırlılığı (Sıfır gecikmede maksimum değerini alması)
Bu soruyu puanla

Konular

Otokovaryans Fonksiyonu ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru