Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOtokovaryans Fonksiyonu ve Özellikleri

Zayıf durağan (kovaryans durağan) bir {Xt}\{X_t\} zaman serisi sürecinin otokovaryans fonksiyonu γ(k)=Cov(Xt,Xt−k)\gamma(k) = Cov(X_t, X_{t-k}) ile ilgili aşağıda verilen özelliklerden hangisi yanlıştır?

  1. A
    γ(0)\gamma(0) değeri sürecin varyansına (Var(Xt)Var(X_t)) eşittir ve her zaman γ(0)≥0\gamma(0) \geq 0 şartını sağlar.
  2. B
    Otokovaryans fonksiyonu çift bir fonksiyondur; yani her kk gecikmesi için γ(k)=γ(−k)\gamma(k) = \gamma(-k) eşitliği geçerlidir.
  3. Herhangi bir kk gecikmesi için otokovaryansın mutlak değeri varyans değerinden büyük olabilir (∣γ(k)∣>γ(0)|\gamma(k)| > \gamma(0)).Cevap
  4. D
    Otokovaryans fonksiyonu pozitif yarı-tanımlıdır; bu özellik sürecin varyansının negatif olamayacağını garanti eder.
  5. E
    Süreç zayıf durağan olduğu için otokovaryans fonksiyonu zamanın başlangıcından (tt) bağımsızdır ve sadece gecikme miktarına (kk) bağlıdır.

Cevap

Herhangi bir kk gecikmesi için otokovaryansın mutlak değerinin varyanstan büyük olabileceğini belirten ifade yanlıştır; ∣γ(k)∣≤γ(0)|\gamma(k)| \leq \gamma(0) eşitsizliği her zaman korunur.
Zaman serileri teorisinde otokovaryans fonksiyonunun en temel özelliklerinden biri sınırlılıktır. ∣γ(k)∣≤γ(0)|\gamma(k)| \leq \gamma(0) eşitsizliği, bir değişkenin başka bir gecikmeli değerle olan ilişkisinin (kovaryans), kendisiyle olan ilişkisinden (varyans) daha büyük olamayacağını ifade eder. Bu nedenle mutlak değerce varyansın aşılması teorik olarak imkansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Zayıf durağanlık tanımı üzerinden otokovaryans yapısını incelemek.
Zayıf durağan bir süreçte E[Xt]=μE[X_t] = \mu (sabit) ve Cov(Xt,Xt−k)=γ(k)Cov(X_t, X_{t-k}) = \gamma(k) olup sadece kk gecikmesine bağlıdır.
Zayıf durağanlık, sürecin birinci ve ikinci momentlerinin zamana göre değişmezliğini gerektirir.
2
γ(0)\gamma(0) ile varyans arasındaki ilişkiyi belirlemek.
γ(0)=Cov(Xt,Xt−0)=Cov(Xt,Xt)=Var(Xt)\gamma(0) = Cov(X_t, X_{t-0}) = Cov(X_t, X_t) = Var(X_t).
Sıfır gecikme, değişkenin kendisiyle olan kovaryansını yani varyansını verir.
3
Cauchy-Schwarz eşitsizliğini otokovaryans fonksiyonuna uygulamak.
[Cov(Xt,Xt−k)]2≤Var(Xt)×Var(Xt−k)[Cov(X_t, X_{t-k})]^2 \leq Var(X_t) \times Var(X_{t-k}) olduğundan γ(k)2≤γ(0)×γ(0)\gamma(k)^2 \leq \gamma(0) \times \gamma(0) elde edilir.
İki rassal değişken arasındaki kovaryansın karesi, bu değişkenlerin varyanslarının çarpımından büyük olamaz.
4
Otokovaryansın üst sınırını belirlemek.
γ(k)2≤γ(0)2⇒∣γ(k)∣≤γ(0)\gamma(k)^2 \leq \gamma(0)^2 \Rightarrow |\gamma(k)| \leq \gamma(0).
Bu matematiksel kısıt, otokorelasyon değerlerinin de [−1,1][-1, 1] aralığında kalmasını sağlayan temel özelliktir.

Anahtar Kavram

Otokovaryans Fonksiyonunun Sınırlılığı ve Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Otokovaryans Fonksiyonu ve Özellikleri