Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) Ölçme, Değerlendirme ve Sınav Hizmetleri Genel Müdürlüğü uzma… — KPSS İstatistik

Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) Ölçme, Değerlendirme ve Sınav Hizmetleri Genel Müdürlüğü uzmanları, yeni geliştirilen lise düzeyindeki bir matematik yetenek testinin tamamlanma süresinin kitle ortalamasını ( $\mu$ ) tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $n=16$ öğrenciye test uygulanmış ve öğrencilerin testi tamamlama sürelerinin örneklem ortalaması $\bar{x} = 45$ dakika, örneklem standart sapması ise $s = 8$ dakika olarak hesaplanmıştır.

Testi tamamlama sürelerinin normal dağılıma sahip olduğu ve kitle varyansının bilinmediği varsayımı altında, kitle ortalaması $\mu$ için %95 güven düzeyindeki aralık tahmini ve bu aralığın frekansçı (frequentist) yorumu aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

(Tablo değerleri: $Z_{0.025} = 1.960$ , $t_{(15, 0.025)} = 2.131$ , $t_{(16, 0.025)} = 2.120$ , $t_{(15, 0.05)} = 1.753$ )

A
$(41.080, \; 48.920)$ / Gerçek kitle ortalamasının hesaplanan bu aralığa düşme olasılığı tam olarak %95'tir.
B
$(40.738, \; 49.262)$ / Gerçek kitle ortalamasının hesaplanan bu spesifik aralıkta bulunma olasılığı %95'tir.
C
$(40.760, \; 49.240)$ / Aynı hacimli tekrarlı örneklemlerden elde edilecek tüm örneklem ortalamalarının %95'i bu aralıktadır.
$(40.738, \; 49.262)$ / Bu tahmin yöntemiyle elde edilecek çok sayıdaki güven aralığının yaklaşık %95'i gerçek kitle ortalamasını kapsar.Cevap
E
$(41.080, \; 48.920)$ / Bu tahmin yöntemiyle elde edilecek çok sayıdaki güven aralığının yaklaşık %95'i gerçek kitle ortalamasını kapsar.

Cevap

Doğru seçenek; aralık sınırlarının t-dağılımı (sd=15) kullanılarak

(40.738, 49.262)

bulunduğu ve güven düzeyinin 'bu yöntemle oluşturulacak çok sayıdaki aralığın kitle ortalamasını kapsama oranı' olarak yorumlandığı seçenektir.

Verilen problemde kitle varyansı bilinmediği için n-1 (16-1=15) serbestlik dereceli Student-t dağılımı kullanılmalıdır. İlgili t tablo değeri 2.131'dir. Hata marjı 2.131 * (8/4) = 4.262 olarak hesaplanır ve bu değer 45'e eklenip çıkarılarak (40.738, 49.262) aralığı bulunur. İstatistiksel frekansçı yaklaşıma göre %95 güven düzeyi, oluşturulan bu aralıkların uzun vadede %95'inin kitle ortalamasını barındıracağı anlamına gelir; bu nedenle ilgili yorum tamamen doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Örneklem verilerinin tanımlanması ve uygun dağılımın belirlenmesi.

n=16

\bar{x}=45

s=8

. Kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmediğinden, tahmin için standart normal dağılım (Z) yerine

n-1 = 15

serbestlik dereceli Student-t dağılımı kullanılmalıdır.

Varyans bilinmediğinde örneklem standart sapması (

s

) kullanılır ve bu durum küçük örneklemlerde t-dağılımını gerektirir.

Kritik t-değerinin ve standart hatanın (SH) hesaplanması.

%95 güven düzeyi (

\alpha = 0.05

) için çift yönlü tablo değeri

t_{(15, 0.025)} = 2.131

'dir. Standart hata ise

SH = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{16}} = \frac{8}{4} = 2

olarak bulunur.

Güven aralığının genişliğini belirleyen hata marjı, kritik değer ile standart hatanın çarpımına eşittir.

Güven aralığı alt ve üst sınırlarının hesaplanması.

Sınırlar

= \bar{x} \pm t_{(15, 0.025)} \times SH = 45 \pm (2.131 \times 2) = 45 \pm 4.262

. Buradan alt sınır

40.738

ve üst sınır

49.262

olarak elde edilir.

Nokta tahmininden (örneklem ortalaması) hata marjı çıkarılarak alt sınır, eklenerek üst sınır bulunur.

Güven aralığının frekansçı (frequentist) teoride yorumlanması.

Klasik istatistikte

\mu

sabit bir değerdir. Bu nedenle '

\mu

'nün hesaplanan bu aralığa düşme olasılığı %95'tir' denemez. Doğru yorum: Aynı yöntemle sayısız örneklem çekilip aralıklar oluşturulduğunda, bu aralıkların %95'i gerçek

\mu

'yü içerecektir.

Olasılık parametreye değil, sonsuz tekrarlı örnekleme sürecinden elde edilen güven sınırları dizisine aittir.

Anahtar Kavram

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı ve Yorumu

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru