Bir araştırmacı, bir bölgedeki hanelerin internet erişimine sahip olup olmadığını belirlem… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, bir bölgedeki hanelerin internet erişimine sahip olup olmadığını belirlemek amacıyla $n$ hanelik bir rastgele örneklem seçmiştir. Her hane için 'erişim var' ( $1$ ) veya 'erişim yok' ( $0$ ) değerleri kaydedilmiştir. İnternet erişim olasılığı $p$ ( $0 < p < 1$ ) olan Bernoulli dağılımının bir parametreli üstel aile (exponential family) üyesi olduğu bilindiğine göre, bu örneklem için $p$ parametresine ait hem yeterli hem de tam (complete) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

$\sum_{i=1}^n X_i$ Cevap
B
$\max(X_1, X_2, \dots, X_n)$
C
$X_1$
D
$\prod_{i=1}^n X_i$
E
$\frac{X_1 + X_n}{2}$

Cevap

Gözlemlerin toplamı (

\sum X_i

), Bernoulli dağılımı için hem yeterli hem de tam bir istatistiktir.

Gözlemlerin toplamı (

\sum X_i

), Bernoulli dağılımı bir üstel aile üyesi olduğu ve parametre uzayı (

0 < p < 1

) açık bir aralık olduğu için Lehmann-Scheffe teoremi gereği hem yeterli hem de tam bir istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

Olasılık fonksiyonunu üstel aile formunda yazın.

f(x; p) = \exp\left(x \ln\left(\frac{p}{1-p}\right) + \ln(1-p)\right)

Dağılımın üstel aile formunda olup olmadığını ve yeterli istatistiğin yapısını belirlemek için.

Yeterli istatistiği (

T(x)

) belirleyin.

T(X) = \sum_{i=1}^n X_i

Üstel aile formunda

x

teriminin katsayısı olan istatistik, örneklem için yeterli istatistiği verir.

Tamlık (completeness) özelliğini kontrol edin.

İstatistik tamdır.

Düzenli bir üstel ailede, parametre uzayı açık bir aralık içeriyorsa, yeterli istatistik aynı zamanda tamdır.

Anahtar Kavram

Üstel ailelerde yeterli istatistiğin tamlığı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru