Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bir üretim sürecindeki belirli bir bileşenin arıza zamanları, aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir dağılım ile modellenmektedir:

f(x;θ)=xθ−1e−x/θΓ(θ)θθ,x>0 f(x; \theta) = \frac{x^{\theta-1} e^{-x/\theta}}{\Gamma(\theta) \theta^\theta}, \quad x > 0

Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir. X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bu dağılımdan alınan nn hacimli bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklemi göstermektedir.

Bu model bağlamında üstel aile (exponential family) özellikleri, istatistiklerin tamlığı (completeness) ve yansız tahmin edicilerin tekliği (uniqueness) değerlendirildiğinde, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Doğal parametre uzayı iki boyutlu bir açık küme içerdiğinden T=(∑i=1nln⁡Xi,∑i=1nXi)T = \left( \sum_{i=1}^n \ln X_i, \sum_{i=1}^n X_i \right) tamdır ve bu istatistiğin her yansız fonksiyonu otomatik olarak benzersiz en iyi yansız tahmin edicidir (UMVUE).
  2. B
    Dağılımın beklenen değeri sadece toplam üzerinden bulunabildiğinden tek boyutlu T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiği tam ve yeterlidir, bu da yansız tahmin edicinin tekliğini sağlar.
  3. Bu model eğrisel (curved) bir üstel aile oluşturur; ortak yeterli istatistik T=(∑i=1nln⁡Xi,∑i=1nXi)T = \left( \sum_{i=1}^n \ln X_i, \sum_{i=1}^n X_i \right) tam (complete) olmadığı için Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak bu istatistiğe bağlı yansız tahmin edicilerin UMVUE (tek) olduğu doğrudan söylenemez.Cevap
  4. D
    Model bir üstel aile formunda ifade edilemez çünkü normalize edici sabit olan Γ(θ)\Gamma(\theta) parametrenin fonksiyonudur; dolayısıyla tam ve yeterli bir istatistikten ve UMVUE'nin tekliğinden söz edilemez.
  5. E
    İstatistiklerin yansızlık ve tutarlılık özellikleri tamlığı da beraberinde getirdiği için sadece T=∑i=1nln⁡XiT = \sum_{i=1}^n \ln X_i istatistiği tamdır ve bu durum UMVUE'nin tekliğini garanti eder.

Cevap

Doğru seçenek, dağılımın eğrisel (curved) bir üstel aile oluşturduğunu ve T=(∑i=1nln⁡Xi,∑i=1nXi)T = \left( \sum_{i=1}^n \ln X_i, \sum_{i=1}^n X_i \right) ortak yeterli istatistiğinin tam olmadığını, dolayısıyla Lehmann-Scheffe teoreminin doğrudan uygulanamayacağını belirten seçenektir.
Verilen dağılım Gamma(\theta, \theta) dağılımıdır. Üstel aile formunda yazıldığında fonksiyon, doğal parametreleri η1=θ−1\eta_1 = \theta - 1 ve η2=−1/θ\eta_2 = -1/\theta olan iki boyutlu bir yapı sergiler. Ancak bu iki doğal parametre birbirine η2=−1/(η1+1)\eta_2 = -1/(\eta_1 + 1) denklemiyle bağlıdır. Doğal parametre uzayı R2\mathbb{R}^2 düzleminde bağımsız olarak hareket edemez, yalnızca bir eğri üzerinde tanımlıdır. Bir üstel ailenin tamlık özelliğine sahip olabilmesi için parametre uzayının açık bir dikdörtgen içermesi gerekir. Bu koşul sağlanmadığı için model 'eğrisel (curved) üstel aile' sınıfına girer ve T=(∑ln⁡Xi,∑Xi)T = \left( \sum \ln X_i, \sum X_i \right) ortak yeterli istatistiği tam değildir. İstatistik tam olmadığı için, ona bağlı olarak bulunacak herhangi bir yansız tahmin edicinin Lehmann-Scheffe teoremi bağlamında benzersiz (tek) UMVUE olduğu ispatlanamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunu standart üstel aile formunda yeniden yazın.
f(x;θ)=exp⁡{(θ−1)ln⁡x−1θx−ln⁡Γ(θ)−θln⁡θ}f(x; \theta) = \exp\{ (\theta-1)\ln x - \frac{1}{\theta}x - \ln\Gamma(\theta) - \theta\ln\theta \}
Yeterli istatistikleri ve doğal parametreleri matematiksel olarak kesin bir şekilde belirleyebilmek için dağılımın üstel formda (exponential family) ifade edilmesi gerekir.
2
Doğal parametreleri (η\eta) ve bunlara karşılık gelen yeterli istatistikleri (TT) tanımlayın.
Elde edilen forma göre doğal parametreler η1=θ−1\eta_1 = \theta - 1 ve η2=−1/θ\eta_2 = -1/\theta'dır. Karşılık gelen ortak yeterli istatistik ise T=(∑ln⁡Xi,∑Xi)T = \left(\sum \ln X_i, \sum X_i\right) olarak bulunur.
Tamlık özelliğinin sorgulanabilmesi için ortak yeterli istatistiğin ve uzay boyutunun tam olarak tespit edilmesi şarttır.
3
Doğal parametre uzayının R2\mathbb{R}^2'de açık bir alt küme (dikdörtgen) içerip içermediğini analiz edin.
Doğal parametreler arasında η2=−1/(η1+1)\eta_2 = -1/(\eta_1 + 1) ilişkisi mevcuttur. Bu nedenle parametre uzayı R2\mathbb{R}^2'de sadece tek boyutlu bir eğri oluşturur ve boyutça açık bir küme içermez.
Bir üstel ailede yeterli istatistiğin tam (complete) olabilmesi için, doğal parametre uzayının ilgili boyutlu uzayda açık bir dikdörtgen içermesi matematiksel bir zorunluluktur.
4
Eğrisel (curved) yapının tamlık ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici) varlığı üzerindeki etkisini değerlendirin.
Açık küme koşulu sağlanmadığından dağılım eğrisel üstel ailedir ve T istatistiği tam değildir. Bu eksiklik, Lehmann-Scheffe teoreminin temel şartını ihlal ettiğinden yansız tahmin edicilerin eşsizliğini (uniqueness) garanti edemez.
Lehmann-Scheffe teoremi, en iyi yansız tahmin edicinin tekliğini kanıtlamak için istatistiğin hem yeterli hem de tam olmasını katı bir şekilde gerektirir.

Anahtar Kavram

Eğrisel Üstel Ailelerde (Curved Exponential Families) Tamlık ve Lehmann-Scheffe Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bu konudan daha fazla soru