Examkin

Soru

Zorluk: ZorTamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bir klinik araştırmada, belirli bir ilacın hastalarda oluşturduğu yan etkiler 3 kategoride sınıflandırılmaktadır: Hafif, Orta ve Şiddetli. Hastaların bu kategorilere düşme olasılıkları sırasıyla p1=θp_1 = \theta, p2=2θp_2 = 2\theta ve p3=1−3θp_3 = 1 - 3\theta olarak tanımlanmıştır (0<θ<1/30 < \theta < 1/3).

Araştırma kapsamında nn hasta rasgele seçilmiş olup, Hafif, Orta ve Şiddetli yan etki gösteren hasta sayıları sırasıyla X1X_1, X2X_2 ve X3X_3 rasgele değişkenleriyle ifade edilmektedir (∑i=13Xi=n\sum_{i=1}^3 X_i = n).

Buna göre, aşağıdaki istatistiklerden hangisi θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) olduğu halde tam (complete) DEĞİLDİR?

  1. A
    X1+X2X_1 + X_2
  2. B
    X3X_3
  3. (X1,X2)(X_1, X_2)Cevap
  4. D
    X1X_1
  5. E
    2X1+X22X_1 + X_2

Cevap

Doğru istatistik (X1,X2)(X_1, X_2) vektörüdür.
Soruda bizden yeterli olup tam olmayan bir istatistik istenmektedir. Olabilirlik fonksiyonunu yazıp Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uyguladığımızda X1+X2X_1 + X_2 toplamının minimal yeterli istatistik olduğunu görürüz. Minimal yeterli istatistiği tam olarak belirleyebilen (X1,X2)(X_1, X_2) vektörü de yeterlidir. Ancak tamlık (completeness) özelliğini incelediğimizde; kategorik dağılımın beklenen değer özelliklerinden dolayı E[X1]=nθE[X_1] = n\theta ve E[X2]=2nθE[X_2] = 2n\theta'dır. Eğer g(X1,X2)=2X1−X2g(X_1, X_2) = 2X_1 - X_2 şeklinde sıfırdan farklı bir fonksiyon tanımlarsak, bu fonksiyonun beklenen değeri E[2X1−X2]=2nθ−2nθ=0E[2X_1 - X_2] = 2n\theta - 2n\theta = 0 olur. Beklenen değeri sıfır olan ancak kendisi (olasılıkla 1 olarak) sıfıra eşit olmayan bir gg fonksiyonu bulunabildiği için (X1,X2)(X_1, X_2) istatistiği tam (complete) değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu oluşturarak Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulamak.
L(θ)=n!X1!X2!X3!(θ)X1(2θ)X2(1−3θ)X3=n!2X2X1!X2!X3!θX1+X2(1−3θ)n−(X1+X2)L(\theta) = \frac{n!}{X_1! X_2! X_3!} (\theta)^{X_1} (2\theta)^{X_2} (1-3\theta)^{X_3} = \frac{n! 2^{X_2}}{X_1! X_2! X_3!} \theta^{X_1+X_2} (1-3\theta)^{n - (X_1+X_2)} şeklinde ifade edilir.
Yeterli istatistiği belirlemek için parametreye bağlı kısmın hangi fonksiyona dayandığını görmek.
2
Minimal yeterli istatistiği belirlemek.
Olabilirlik fonksiyonunda bilinmeyen θ\theta parametresi, veriye sadece X1+X2X_1 + X_2 toplamı üzerinden bağlıdır. Bu nedenle minimal yeterli istatistik T=X1+X2T = X_1 + X_2'dir.
Çarpanlara ayırma teoremine göre, parametreyi içeren kısım g(T(x),θ)g(T(x), \theta) formunda yazıldığında T(x)T(x) yeterli istatistiktir.
3
Seçeneklerdeki istatistiklerin yeterlilik ve tamlık durumlarını incelemek.
(X1,X2)(X_1, X_2) istatistiği, X1+X2X_1 + X_2 toplamını doğrudan belirlediği için yeterlidir. Ancak E[X1]=nθE[X_1] = n\theta ve E[X2]=2nθE[X_2] = 2n\theta olduğundan, g(X1,X2)=2X1−X2g(X_1, X_2) = 2X_1 - X_2 fonksiyonu için E[2X1−X2]=0E[2X_1 - X_2] = 0 elde edilir. İstatistik sıfırdan farklı olduğu halde beklenen değeri her θ\theta için sıfır olduğundan tam (complete) değildir.
Tamlık (completeness) tanımına göre, beklentisi her parametre değeri için sıfır olan tek fonksiyonun, olasılıkla 1 olarak sıfıra eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Yeterli ve Tam İstatistikler (Sufficient and Complete Statistics)

Alternatif Yöntem

Olabilirlik fonksiyonunu çok terimli (multinomial) üstel aile formunda yazarak doğal parametreleri ve yeterli istatistikleri belirleyebilirsiniz. Ortak dağılımı f(x)=h(x)exp⁡(∑ηiTi(x)−A(η))f(x) = h(x) \exp(\sum \eta_i T_i(x) - A(\eta)) şeklinde ifade ettiğimizde, doğal parametre uzayının boyutunun (burada θ\theta tek boyutlu) yeterli istatistiğin boyutundan (eğer (X1,X2)(X_1, X_2) seçilirse 2 boyutlu) küçük olduğu durumlarda kavisli (curved) üstel aile oluştuğunu ve bu yüzden daha geniş vektörün tamlık özelliğini kaybettiğini doğrudan teorik olarak tespit edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bu konudan daha fazla soru