Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bir tarım araştırmasında, belirli bir buğday türünün hastalıklara karşı dayanıklılık süresi (ay cinsinden) XX rassal değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x;θ)={3x2θ3e−(xθ)3,x>00,dig˘er durumlarda f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2}{\theta^3} e^{-\left(\frac{x}{\theta}\right)^3} & , x > 0 \\ 0 & , \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir ve dağılımın tanım kümesi parametreye bağlı değildir. Lehmann-Scheffe teoremine göre, düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin ediciyi (UMVUE) bulabilmek için tam (complete) ve yeterli bir istatistiğe ihtiyaç vardır.

Buna göre, dağılım tek parametreli üstel aile (exponential family) formunda ifade edildiğinde, dağılımın doğal (kanonik) parametresi ve θ\theta için tam ve yeterli istatistiği aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

  1. A
    Doğal parametre: −1θ3-\frac{1}{\theta^3} , Tam ve yeterli istatistik: ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i
  2. B
    Doğal parametre: 1θ3\frac{1}{\theta^3} , Tam ve yeterli istatistik: ∑i=1nXi3\sum_{i=1}^{n} X_i^3
  3. Doğal parametre: −1θ3-\frac{1}{\theta^3} , Tam ve yeterli istatistik: ∑i=1nXi3\sum_{i=1}^{n} X_i^3Cevap
  4. D
    Doğal parametre: −3θ-\frac{3}{\theta} , Tam ve yeterli istatistik: ∑i=1nXi3\sum_{i=1}^{n} X_i^3
  5. E
    Doğal parametre: −1θ-\frac{1}{\theta} , Tam ve yeterli istatistik: ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^{n} X_i^2

Cevap

Doğal parametrenin −1θ3-\frac{1}{\theta^3} ve tam/yeterli istatistiğin ∑i=1nXi3\sum_{i=1}^{n} X_i^3 olduğu seçenek doğru cevaptır.
Verilen dağılımı üstel aile genel formuna (f(x;θ)=h(x)c(θ)exp⁡(w(θ)t(x))f(x; \theta) = h(x)c(\theta)\exp(w(\theta)t(x))) dönüştürdüğümüzde, ifade f(x;θ)=3x2⋅θ−3⋅exp⁡(−1θ3x3)f(x; \theta) = 3x^2 \cdot \theta^{-3} \cdot \exp\left(-\frac{1}{\theta^3} x^3\right) şeklini alır. Buradan doğal (kanonik) parametrenin w(θ)=−1θ3w(\theta) = -\frac{1}{\theta^3} ve birim istatistiğin t(x)=x3t(x) = x^3 olduğu açıkça görülür. Rastgele bir örneklem için yeterli istatistik, birim istatistiklerin toplamı olan ∑i=1nXi3\sum_{i=1}^n X_i^3 olur. Kanonik parametre uzayı (−∞,0)(-\infty, 0) açık bir aralık barındırdığı için, tamlık (completeness) teoremi gereği bu yeterli istatistik aynı zamanda tamdır.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılım fonksiyonunu standart üstel aile formatına dönüştürmek.
f(x;θ)=3x2⋅1θ3⋅exp⁡(−1θ3x3)f(x; \theta) = 3x^2 \cdot \frac{1}{\theta^3} \cdot \exp\left(-\frac{1}{\theta^3}x^3\right)
Üstel ailenin kanonik (doğal) parametresini ve istatistiğini belirleyebilmek için uygun matematiksel formülasyon gereklidir.
2
Üstel aile bileşenlerini eşleştirerek doğal parametreyi ve birim istatistiği belirlemek.
Genel form f(x;θ)=h(x)c(θ)exp⁡(w(θ)t(x))f(x; \theta) = h(x)c(\theta)\exp(w(\theta)t(x)) ile karşılaştırıldığında, doğal parametre w(θ)=−1θ3w(\theta) = -\frac{1}{\theta^3} ve birim istatistik t(x)=x3t(x) = x^3 olarak bulunur.
Neyman çarpanlara ayırma teoremine göre istatistiği (t(x)t(x)) ve kanonik parametreyi (w(θ)w(\theta)) tespit etmek için bileşenler ayrıştırılmalıdır.
3
nn çaplı örneklem için ortak yoğunluk fonksiyonunu değerlendirerek yeterli istatistiği bulmak.
Ortak yoğunluk fonksiyonundaki üstel terim exp⁡(−1θ3∑i=1nXi3)\exp\left(-\frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n X_i^3\right) olur. Bu durumda yeterli istatistik ∑i=1nXi3\sum_{i=1}^n X_i^3'tür.
Örneklemdeki tüm bağımsız gözlemlerin birleşik bilgisi, birim istatistiklerin toplamı üzerinden ifade edilir.
4
Parametre uzayının tamlık (completeness) koşulunu sağladığını teorik olarak doğrulamak.
Doğal parametre η=−1/θ3\eta = -1/\theta^3 için θ>0\theta > 0 olduğundan, parametre uzayı (−∞,0)(-\infty, 0) açık aralığını oluşturur.
Düzenli üstel ailelerde doğal parametre uzayının açık bir aralık içermesi, yeterli istatistiğin aynı zamanda tam (complete) olduğunu garanti eder.

Anahtar Kavram

Üstel Ailelerde Tamlık ve Yeterlilik
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bu konudan daha fazla soru