Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bir araştırmacı, (0,1)(0, 1) aralığında değerler alan ve olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x;λ)={λxλ−1,0<x<10,dig˘er durumlardaf(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda x^{\lambda - 1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olan bir kitleden nn hacimli bir rasgele örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) elde etmiştir (λ>0\lambda > 0).

Buna göre, üstel aile (exponential family) özellikleri dikkate alındığında, λ\lambda parametresi için tam (complete) ve yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  2. B
    max⁡(X1,X2,…,Xn)\max(X_1, X_2, \dots, X_n)
  3. ∑i=1nln⁡(Xi)\sum_{i=1}^n \ln(X_i)Cevap
  4. D
    ∑i=1nln⁡(1−Xi)\sum_{i=1}^n \ln(1 - X_i)
  5. E
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2

Cevap

Doğru cevap, doğal parametre ile çarpım durumunda olan ∑i=1nln⁡(Xi)\sum_{i=1}^n \ln(X_i) ifadesini içeren seçenektir.
Dağılımın ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu üstel aile formunda L(λ;x)=exp⁡(nln⁡(λ)+(λ−1)∑i=1nln⁡(xi))L(\lambda; \mathbf{x}) = \exp\left( n\ln(\lambda) + (\lambda - 1)\sum_{i=1}^n \ln(x_i) \right) olarak yazılabilir. Parametre uzayı λ>0\lambda > 0 geçerli bir açık aralık içerdiğinden, bu dağılım tek parametreli düzenli üstel bir ailedir. Üstel aile teoremine göre, doğal parametre (λ−1)(\lambda - 1) ile çarpım durumunda olan istatistik ∑i=1nln⁡(Xi)\sum_{i=1}^n \ln(X_i) tam (complete) ve yeterli istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunu üstel aile standart formunda (f(x;θ)=exp⁡[c(θ)T(x)+d(θ)+S(x)]f(x;\theta) = \exp[c(\theta)T(x) + d(\theta) + S(x)]) yazmak.
f(x;λ)=λxλ−1=exp⁡(ln⁡(λ)+(λ−1)ln⁡(x))f(x; \lambda) = \lambda x^{\lambda - 1} = \exp(\ln(\lambda) + (\lambda - 1)\ln(x)) şeklinde ifade edilir.
Üstel ailelere ait tamlık teoremini uygulayabilmek ve yeterli istatistiği belirlemek için fonksiyonun üstel olarak dönüştürülmesi gerekir.
2
nn hacimli örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (olabilirlik fonksiyonunu) oluşturmak.
L(λ;x)=∏i=1nexp⁡(ln⁡(λ)+(λ−1)ln⁡(xi))=exp⁡(nln⁡(λ)+(λ−1)∑i=1nln⁡(xi))L(\lambda; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \exp(\ln(\lambda) + (\lambda - 1)\ln(x_i)) = \exp\left( n\ln(\lambda) + (\lambda - 1)\sum_{i=1}^n \ln(x_i) \right) elde edilir.
Örneklem istatistiğini bulmak için tekil dağılımların çarpımı alınarak ortak dağılım elde edilmelidir.
3
Parametre uzayını kontrol ederek tam ve yeterli istatistiği belirlemek.
Parametre uzayı λ>0\lambda > 0 açık bir aralık içerdiğinden ve dağılım düzenli üstel aile üyesi olduğundan, doğal parametre (λ−1)(\lambda - 1) ile çarpım durumunda olan istatistik ∑i=1nln⁡(Xi)\sum_{i=1}^n \ln(X_i) tam ve yeterli istatistiktir.
Düzenli üstel aile teoremi gereği, tam ve yeterli istatistik her zaman üstel fonksiyondaki doğal parametrenin katsayısı olan fonksiyondur.

Anahtar Kavram

Düzenli Üstel Ailelerde Tam ve Yeterli İstatistik
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bu konudan daha fazla soru