Examkin

Soru

Zorluk: ZorOran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Koşulları

Bir lojistik firması, dağıtım araçlarının aylık bakım masraflarını (yy) tahmin etmek amacıyla, araçların o ay içinde yaptıkları toplam kilometre (xx) bilgisini yardımcı değişken olarak kullanmayı planlamaktadır.

Yapılan pilot çalışmada, kilometre değişkenine ait değişim katsayısının (CxC_x), bakım masraflarına ait değişim katsayısının (CyC_y) %40'ı olduğu (Cx=0,4CyC_x = 0,4 C_y) saptanmıştır. Araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin ederken basit rastgele örnekleme ortalaması yerine oran tahminleyicisini (ratio estimator) kullanmanın varyansı düşüreceğini ve tahminleme sürecini daha etkin kılacağını öne sürmektedir.

Buna göre, oran tahminleyicisinin basit rastgele örnekleme ortalamasına göre daha etkin olabilmesi için sağlanması gereken genel teorik koşul ve bu araştırmada korelasyon katsayısının (ρ\rho) aşması gereken minimum değer aşağıdakilerden hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

  1. Genel koşul ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y} formülü ile ifade edilir ve korelasyon katsayısı 0,200,20'den büyük olmalıdır.Cevap
  2. B
    Genel koşul ρ>2CxCy\rho > \frac{2C_x}{C_y} formülü ile ifade edilir ve korelasyon katsayısı 0,800,80'den büyük olmalıdır.
  3. C
    Genel koşul ρ>CxCy\rho > \frac{C_x}{C_y} formülü ile ifade edilir ve korelasyon katsayısı 0,400,40'tan büyük olmalıdır.
  4. D
    Genel koşul ρ>Cy2Cx\rho > \frac{C_y}{2C_x} formülü ile ifade edilir ve korelasyon katsayısı 1,251,25'ten büyük olmalıdır.
  5. E
    Tahminleyicilerin etkinliği korelasyon katsayısına değil, yalnızca iadesiz seçimdeki sonlu kitle düzeltme çarpanına (SKD) bağlıdır.

Cevap

Oran tahminleyicisinin daha etkin olmasının teorik koşulu ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y} formülüyle ifade edilir ve bu soruda sınır değer 0,200,20 olmalıdır.
Oran tahminleyicisinin basit rastgele örnekleme ortalamasından daha etkin olabilmesi (daha küçük varyansa sahip olması) için V(yˉR)<V(yˉ)V(\bar{y}_R) < V(\bar{y}) eşitsizliğinin sağlanması gerekir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde teorik olarak ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y} koşulu elde edilir. Soru metninde Cx=0,4CyC_x = 0,4 C_y ilişkisi verilmiştir. Bu değer eşitsizlikte yerine yazıldığında; ρ>0,4Cy2Cy=0,42=0,20\rho > \frac{0,4 C_y}{2 C_y} = \frac{0,4}{2} = 0,20 sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla, korelasyon katsayısı 0,200,20'den büyük olduğunda oran tahminleyicisi daha avantajlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Oran tahminleyicisinin (yˉR\bar{y}_R) varyansının basit rastgele örnekleme ortalamasının (yˉ\bar{y}) varyansından küçük olma eşitsizliğini yazmak.
V(yˉR)<V(yˉ)  ⟹  Sy2+R2Sx2−2RρSxSy<Sy2V(\bar{y}_R) < V(\bar{y}) \implies S_y^2 + R^2 S_x^2 - 2R \rho S_x S_y < S_y^2
Etkinlik, aynı örneklem hacmi için daha düşük varyansa sahip olmak demektir.
2
Eşitsizliği sadeleştirerek ρ\rho (korelasyon katsayısı) için genel koşulu türetmek.
R2Sx2<2RρSxSy  ⟹  ρ>RSx2Sy  ⟹  ρ>(Yˉ/Xˉ)Sx2Sy  ⟹  ρ>Sx/Xˉ2(Sy/Yˉ)  ⟹  ρ>Cx2CyR^2 S_x^2 < 2R \rho S_x S_y \implies \rho > \frac{R S_x}{2 S_y} \implies \rho > \frac{(\bar{Y}/\bar{X}) S_x}{2 S_y} \implies \rho > \frac{S_x / \bar{X}}{2(S_y / \bar{Y})} \implies \rho > \frac{C_x}{2C_y}
Değişim katsayıları Cx=Sx/XˉC_x = S_x/\bar{X} ve Cy=Sy/YˉC_y = S_y/\bar{Y} kullanılarak eşitsizlik standart forma getirilir.
3
Soruda verilen Cx=0,4CyC_x = 0,4 C_y eşitliğini türetilen formülde yerine koymak.
ρ>0,4Cy2Cy\rho > \frac{0,4 C_y}{2 C_y}
Sorudaki spesifik pilot çalışma verilerini genel koşula uygulamak.
4
Matematiksel işlemi tamamlayarak minimum sınır değerini hesaplamak.
ρ>0,42  ⟹  ρ>0,20\rho > \frac{0,4}{2} \implies \rho > 0,20
Korelasyon katsayısının aşması gereken nihai sayısal sınırı bulmak.

Anahtar Kavram

Oran tahminleyicisinin etkinliği, yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki korelasyonun (ρ\rho) belirli bir kritik değeri (Cx2Cy\frac{C_x}{2C_y}) aşmasına bağlıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Oran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Koşulları

Bu konudan daha fazla soru