Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Sanayi ve Teknoloji Bakanlığı, organize sanayi bölgelerindeki (OSB) işletmelerin Ar-Ge harcamaları (XX, milyon TL) ile tescil edilen faydalı model sayıları (YY, adet) arasındaki ilişkiyi incelemek için 16 farklı OSB'den kesit verisi toplamıştır.

Bu değişkenlere ilişkin hesaplanan bazı özet istatistikler aşağıda verilmiştir:

n=16n = 16
Xˉ=5\bar{X} = 5
Yˉ=24\bar{Y} = 24
∑i=116(Xi−Xˉ)2=40\sum_{i=1}^{16} (X_i - \bar{X})^2 = 40
∑i=116(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)=140\sum_{i=1}^{16} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 140

Klasik doğrusal regresyon modelinin tüm varsayımlarının sağlandığı kabul edilmektedir.

Buna göre, En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilen doğrusal regresyon denklemi ve Gauss-Markov teoremine göre bu tahmincilerin sahip olduğu istatistiksel özellik aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

  1. Y^=6,5+3,5X\hat{Y} = 6,5 + 3,5X ; Doğrusal, yansız ve en küçük varyanslı (BLUE) tahmincilerdir.Cevap
  2. B
    Y^=41,5+3,5X\hat{Y} = 41,5 + 3,5X ; Doğrusal, yansız ve en küçük varyanslı (BLUE) tahmincilerdir.
  3. C
    Y^=3,5+6,5X\hat{Y} = 3,5 + 6,5X ; Doğrusal, yansız ve en küçük varyanslı (BLUE) tahmincilerdir.
  4. D
    Y^=6,5+3,5X\hat{Y} = 6,5 + 3,5X ; Sadece hata terimleri normal dağılıma uyduğunda yansız tahmin edici olurlar.
  5. E
    Y^=6,5+3,5X\hat{Y} = 6,5 + 3,5X ; Değişen varyans (heteroskedastisite) durumunda dahi en küçük varyanslı olma özelliğini korurlar.

Cevap

Regresyon denklemi Y^=6,5+3,5X\hat{Y} = 6,5 + 3,5X şeklinde olup, bu tahminciler Gauss-Markov teoremine göre doğrusal, yansız ve en küçük varyanslıdır.
Verilen özet istatistikler kullanılarak eğim katsayısı β^1=14040=3,5\hat{\beta}_1 = \frac{140}{40} = 3,5 ve sabit terim β^0=24−(3,5×5)=6,5\hat{\beta}_0 = 24 - (3,5 \times 5) = 6,5 bulunur. Bu durum regresyon denkleminin Y^=6,5+3,5X\hat{Y} = 6,5 + 3,5X olduğunu gösterir. Gauss-Markov teoremine göre ise, klasik doğrusal regresyon varsayımları altında elde edilen bu EKK tahmincileri 'Doğrusal, Yansız ve En Küçük Varyanslı' (BLUE) tahmincilerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğim katsayısını (β^1\hat{\beta}_1) hesapla.
β^1=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Xi−Xˉ)2=14040=3,5\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{140}{40} = 3,5
Basit doğrusal regresyonda eğim, XX ve YY arasındaki ortak değişimin XX'in kendi içindeki değişimine oranıdır.
2
Sabit terimi (β^0\hat{\beta}_0) hesapla.
β^0=Yˉ−β^1Xˉ=24−(3,5×5)=24−17,5=6,5\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1\bar{X} = 24 - (3,5 \times 5) = 24 - 17,5 = 6,5
Regresyon doğrusu her zaman örneklem ortalamalarından (Xˉ,Yˉ)(\bar{X}, \bar{Y}) geçmek zorundadır, bu eşitlikten sabit terim çekilir.
3
Gauss-Markov teoreminin sonucunu belirle.
Tahminciler BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) özelliklerine sahiptir.
Klasik doğrusal regresyon varsayımları (doğrusallık, sıfır koşullu ortalama, sabit varyans, otokorelasyon olmaması) sağlandığında EKK tahmincileri doğrusal, yansız ve en küçük varyanslı tahmincilerdir.

Anahtar Kavram

EKK Parametre Tahmini ve Gauss-Markov Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

EKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Bu konudan daha fazla soru