Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOrtalama Vektörü ve Kovaryans Matrisi

Bir sağlık araştırmasında, hastaların fizyolojik ölçümleri ve biyokimyasal kan değerlerinden oluşan X\mathbf{X} rastgele vektörü iki alt gruba ayrılmıştır: X1\mathbf{X}_1 (fizyolojik ölçümler) ve X2\mathbf{X}_2 (kan değerleri). Bu X=[X1X2]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} \mathbf{X}_1 \\ \mathbf{X}_2 \end{bmatrix} vektörünün μ\boldsymbol{\mu} ortalama vektörü ve Σ\boldsymbol{\Sigma} varyans-kovaryans matrisi ile çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisi, alt vektörlerin boyutlarına uygun olarak Σ=[Σ11Σ12Σ21Σ22]\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma}_{11} & \boldsymbol{\Sigma}_{12} \\ \boldsymbol{\Sigma}_{21} & \boldsymbol{\Sigma}_{22} \end{bmatrix} biçiminde parçalanmıştır.

Buna göre, çok değişkenli normal dağılımın özellikleri ve parametre matrisleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 alt vektörlerinin marjinal dağılımları ayrı ayrı normal dağılıma sahip olduğunda, birleşimleri olan X\mathbf{X} vektörü de her zaman ortak çok değişkenli normal dağılıma sahip olur.
  2. B
    X2=x2\mathbf{X}_2 = \mathbf{x}_2 bilindiğinde X1\mathbf{X}_1'in koşullu varyans-kovaryans matrisi, Σ11.2=Σ11−Σ21Σ22−1Σ12\boldsymbol{\Sigma}_{11.2} = \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{21}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{12} eşitliği kullanılarak hesaplanır.
  3. Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0} sıfır matrisine eşitse, X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 alt vektörleri istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır.Cevap
  4. D
    Varyans-kovaryans matrisinin determinantı olan ∣Σ∣|\boldsymbol{\Sigma}|, X\mathbf{X} vektörünün toplam varyansını ifade eder ve Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisinin köşegen elemanlarının toplanmasıyla bulunur.
  5. E
    A\mathbf{A} uygun boyutlu sabit bir matris olmak üzere, Y=AX\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} doğrusal dönüşümüyle elde edilen yeni vektörün varyans-kovaryans matrisi AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} çarpımına eşittir.

Cevap

Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0} sıfır matrisine eşitse, X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 alt vektörleri istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır.
Çok değişkenli normal dağılımın en temel ve ayırt edici özelliklerinden biri, rassal vektörün bileşenleri (veya parçalanmış alt vektörleri) arasındaki kovaryans matrisinin sıfır matrisine (0\mathbf{0}) eşit olmasının, bu bileşenlerin istatistiksel olarak tamamen bağımsız olduğu anlamına gelmesidir. Diğer pek çok dağılımda kovaryansın sıfır olması bağımsızlığı garantilemezken, çok değişkenli normal dağılım modelinde bu teorem kesin olarak geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1
Çok değişkenli normal dağılımda alt vektörler arası bağımsızlık koşulunu değerlendirmek.
Çapraz kovaryans matrisi sıfır (Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0}) ise alt vektörler bağımsızdır.
Sıfır kovaryansın bağımsızlığı gerektirmesi, normal dağılımın ayırt edici temel özelliklerinden biridir.
2
Diğer seçeneklerdeki matris işlemleri ve dağılım özelliklerinin doğruluğunu kontrol etmek.
Marjinal normalliğin ortak normalliği garantilemediği, koşullu varyans formülündeki çarpım sırasının yanlış olduğu, iz ve determinant kavramlarının karıştırıldığı tespit edilmiştir.
Teorik parametre formüllerindeki boyut uyumsuzluklarını ve kavram yanılgılarını elemek.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Teorik Özellikleri ve Parametre Matrisleri
Bu soruyu puanla

Konular

Ortalama Vektörü ve Kovaryans Matrisi

Bu konudan daha fazla soru