Examkin

Soru

Zorluk: ZorOrtalama Vektörü ve Kovaryans Matrisi

X=[X1X2X3]∼N3(μ,Σ)\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} \sim N_3(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) rastgele vektörü için ortalama vektörü ve varyans-kovaryans matrisi aşağıda verilmiştir:

μ=[20−1],Σ=[421230102] \boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}

X\mathbf{X} vektörünün bileşenleri kullanılarak oluşturulan yeni Y\mathbf{Y} rastgele vektörü şu şekilde tanımlanmıştır:

Y=[Y1Y2]=[X1+X2X1−X3] \mathbf{Y} = \begin{bmatrix} Y_1 \\ Y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_1 + X_2 \\ X_1 - X_3 \end{bmatrix}

Buna göre, Y\mathbf{Y} vektörünün varyans-kovaryans matrisinin izi (trace) ve determinantı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 15 ve 19Cevap
  2. B
    19 ve 15
  3. C
    15 ve 44
  4. D
    13 ve 17
  5. E
    15 ve 69

Cevap

İz değeri 15, determinant değeri ise 19'dur.
Y=CX\mathbf{Y} = \mathbf{C}\mathbf{X} doğrusal dönüşümü uygulandığında, yeni dağılımın varyans-kovaryans matrisi ΣY=CΣC′\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{C} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{C}' eşitliği ile bulunur. Burada C=[11010−1]\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} olarak yazılır. Gerekli matris çarpımları yapıldığında ΣY=[11554]\boldsymbol{\Sigma}_Y = \begin{bmatrix} 11 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} matrisi elde edilir. Bu matrisin izi, asal köşegen elemanlarının toplamı olan 11+4=1511 + 4 = 15'tir. Determinantı ise (11×4)−(5×5)=44−25=19(11 \times 4) - (5 \times 5) = 44 - 25 = 19 olarak hesaplanır. Dolayısıyla iz 15, determinant 19 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Y vektörünü tanımlayan doğrusal dönüşüm matrisini (C) oluştur.
C=[11010−1]\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} matrisi elde edilir.
Y=CX\mathbf{Y} = \mathbf{C}\mathbf{X} formunda yazabilmek ve varyans-kovaryans matrisini dönüştürebilmek için katsayılar matrisine ihtiyaç vardır.
2
Y vektörünün varyans-kovaryans matrisini ΣY=CΣC′\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{C} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{C}' formülü ile hesapla.
CΣ=[65132−1]\mathbf{C}\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 6 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{bmatrix} ve CΣC′=[11554]\mathbf{C}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{C}' = \begin{bmatrix} 11 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} bulunur.
Çok değişkenli normal dağılımda doğrusal dönüşümlerin varyans-kovaryans matrisi bu formülle elde edilir.
3
Elde edilen matrisin izini (trace) hesapla.
İz = 11+4=1511 + 4 = 15 olarak bulunur.
Bir kare matrisin izi, asal köşegen üzerindeki elemanların (varyansların) toplamına eşittir.
4
Elde edilen matrisin determinantını hesapla.
Determinant = (11×4)−(5×5)=44−25=19(11 \times 4) - (5 \times 5) = 44 - 25 = 19 olarak bulunur.
2x2 boyutundaki varyans-kovaryans matrisinin determinantı (genelleştirilmiş varyans) köşegen elemanlarının çarpımından köşegen dışı elemanların karesinin çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda doğrusal dönüşümler ve varyans-kovaryans matrisinin özellikleri
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ortalama Vektörü ve Kovaryans Matrisi

Bu konudan daha fazla soru