X rastgele vektörü, bileşenleri sırasıyla X_1, X_2 ve X_3 olan üç boyutlu bir vektördür. X… — KPSS İstatistik

$X$ rastgele vektörü, bileşenleri sırasıyla $X_1$ , $X_2$ ve $X_3$ olan üç boyutlu bir vektördür. $X$ vektörünün çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu ve varyans-kovaryans matrisinin ( $\Sigma$ ) aşağıdaki gibi olduğu bilinmektedir:

\Sigma = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}

Bu bileşenler kullanılarak $Y_1 = X_1 - X_2$ ve $Y_2 = X_2 + X_3$ şeklinde iki yeni rastgele değişken oluşturulmuş ve $Y = (Y_1, Y_2)'$ vektörü tanımlanmıştır.

Buna göre, elde edilen $Y$ vektörünün varyans-kovaryans matrisinin izi (toplam varyansı) ve genelleştirilmiş varyansı (determinantı) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

İz = 19, Genelleştirilmiş Varyans = 45Cevap
B
İz = 45, Genelleştirilmiş Varyans = 19
C
İz = 19, Genelleştirilmiş Varyans = 70
D
İz = 27, Genelleştirilmiş Varyans = 157
E
İz = 19, Genelleştirilmiş Varyans = 95

Cevap

İz = 19, Genelleştirilmiş Varyans = 45

Y vektörünün varyans-kovaryans matrisi, Y_1 ve Y_2'nin varyansları ile aralarındaki kovaryans değerlerinden oluşur. Doğrusal dönüşüm kuralları uygulandığında Var(Y_1) = 5, Var(Y_2) = 14 ve Cov(Y_1, Y_2) = -5 bulunur. Oluşan 2x2'lik varyans-kovaryans matrisinin izi köşegen elemanlarının toplamı ile 19 bulunur. Genelleştirilmiş varyansı veren determinant ise (5 x 14) - (-5)^2 = 45 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Y_1 ve Y_2 değişkenlerinin varyanslarını hesaplama

Var(Y_1) = 5 ve Var(Y_2) = 14

Varyans özellikleri gereği: Var(X_1 - X_2) = Var(X_1) + Var(X_2) - 2Cov(X_1, X_2) = 4 + 5 - 2(2) = 5. Aynı şekilde Var(X_2 + X_3) = Var(X_2) + Var(X_3) + 2Cov(X_2, X_3) = 5 + 5 + 2(2) = 14.

Y_1 ve Y_2 değişkenleri arasındaki kovaryansı bulma

Cov(Y_1, Y_2) = -5

Cov(X_1 - X_2, X_2 + X_3) işlemi dağıtılarak hesaplanır: Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) - Var(X_2) - Cov(X_2, X_3) = 2 + 0 - 5 - 2 = -5.

Y vektörünün varyans-kovaryans matrisini oluşturma

Y matrisinin köşegenleri 5 ve 14, köşegen dışı elemanları -5'tir.

Elde edilen varyans ve kovaryans değerleri kullanılarak 2x2 boyutunda yeni varyans-kovaryans matrisi yazılır.

Matrisin izini (toplam varyans) hesaplama

İz = 5 + 14 = 19

Bir matrisin izi (trace), ana köşegen üzerindeki elemanların toplamıdır.

Matrisin determinantını (genelleştirilmiş varyans) hesaplama

Determinant = 45

2x2 matrisin determinantı (ad - bc) formülüyle: (5)(14) - (-5)^2 = 70 - 25 = 45 olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Doğrusal Dönüşümler ve Kovaryans Matrisi Özellikleri

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru