Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorOrtalama Vektörü ve Kovaryans Matrisi

X=[X1X2X3]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} rastgele vektörü, singüler olmayan (non-degenerate) üç değişkenli normal dağılıma sahiptir. Bu vektörün bileşenlerinin her birinin varyansı 11'e eşit olup, herhangi iki bileşen arasındaki korelasyon katsayısı ρ\rho'dur.

Buna göre, ortak dağılımın geçerli olabilmesi (kovaryans matrisinin uygunluğu) için ρ\rho parametresinin tanım aralığı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

  1. A
    −1<ρ<1-1 < \rho < 1
  2. −12<ρ<1-\frac{1}{2} < \rho < 1Cevap
  3. C
    −13<ρ<1-\frac{1}{3} < \rho < 1
  4. D
    0<ρ<10 < \rho < 1
  5. E
    −12≤ρ≤1-\frac{1}{2} \leq \rho \leq 1

Cevap

Singüler olmayan çok değişkenli normal dağılım için kovaryans matrisi pozitif tanımlı olmalıdır. Bu şartı sağlayan aralık −1/2<ρ<1-1/2 < \rho < 1 aralığıdır.
Singüler olmayan üç değişkenli normal dağılım için varyans-kovaryans matrisinin pozitif tanımlı (positive definite) olması teorik bir zorunluluktur. Matrisin formu Σ=(1−ρ)I3+ρ11T\boldsymbol{\Sigma} = (1-\rho)\mathbf{I}_3 + \rho\mathbf{1}\mathbf{1}^T şeklindedir ve bu tür matrislerin özdeğerleri λ1=1+(3−1)ρ=1+2ρ\lambda_1 = 1 + (3-1)\rho = 1 + 2\rho ve λ2=λ3=1−ρ\lambda_2 = \lambda_3 = 1 - \rho formülleriyle pratik olarak bulunabilir. Pozitif tanımlılık için tüm özdeğerler kesinlikle pozitif olmalıdır: 1+2ρ>0  ⟹  ρ>−1/21 + 2\rho > 0 \implies \rho > -1/2 ve 1−ρ>0  ⟹  ρ<11 - \rho > 0 \implies \rho < 1. Bu iki koşulun kesişiminden doğru aralığın −1/2<ρ<1-1/2 < \rho < 1 olduğu ispatlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kovaryans matrisinin oluşturulması
Varyanslar 11 ve ikili korelasyonlar ρ\rho olduğu için Σ=[1ρρρ1ρρρ1]\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 1 & \rho & \rho \\ \rho & 1 & \rho \\ \rho & \rho & 1 \end{bmatrix} matrisi yazılır.
Standartlaştırılmış rastgele değişkenlerde kovaryans matrisi ile korelasyon matrisi birbirine eşittir.
2
Geçerlilik şartının belirlenmesi
Dağılımın singüler olmaması için Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisi pozitif tanımlı (positive definite) olmalı, yani determinantı ve tüm öncü asal minörleri sıfırdan büyük olmalıdır.
Geçerli bir çok değişkenli dağılımın temel teorik varsayımı matrisin kesin pozitif tanımlı olmasıdır.
3
İkinci mertebeden asal minörün incelenmesi
∣Σ2∣=1−ρ2>0|\boldsymbol{\Sigma}_2| = 1 - \rho^2 > 0 eşitsizliğinden −1<ρ<1-1 < \rho < 1 şartı elde edilir.
Herhangi iki değişken arasındaki marjinal ilişkinin matematiksel sınırını ifade eder.
4
Üçüncü mertebeden asal minörün (matris determinantı) incelenmesi
∣Σ3∣=det⁡(Σ)=1−3ρ2+2ρ3=(2ρ+1)(ρ−1)2>0|\boldsymbol{\Sigma}_3| = \det(\boldsymbol{\Sigma}) = 1 - 3\rho^2 + 2\rho^3 = (2\rho + 1)(\rho - 1)^2 > 0 eşitsizliği kurulur.
Üç değişkenin aynı anda ortak dağılıma sahip olabilmesi için determinantın sıfırdan büyük olması gerekir.
5
Çözüm aralığının bulunması
ρ≠1\rho \neq 1 koşulu altında (ρ−1)2(\rho - 1)^2 daima pozitiftir. Eşitsizliğin sağlanması için 2ρ+1>0  ⟹  ρ>−1/22\rho + 1 > 0 \implies \rho > -1/2 olmalıdır. Diğer şartla kesişimi alındığında −1/2<ρ<1-1/2 < \rho < 1 bulunur.
Matrisin tüm boyutlarda pozitif tanımlı kalmasını sağlayan yegane çözüm kümesidir.

Anahtar Kavram

Kovaryans matrisinin pozitif tanımlılığı ve Sylvester Kriteri
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ortalama Vektörü ve Kovaryans Matrisi

Bu konudan daha fazla soru