Examkin

Soru

Zorluk: KolayTek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Hazine ve Maliye Bakanlığı müfettişleri, bir ildeki küçük işletmelerin günlük ortalama gelirini (μ\mu) tahmin etmek amacıyla rastgele 100100 işletmeyi incelemiş ve örneklem ortalamasını xˉ=800\bar{x} = 800 TL olarak hesaplamıştır. Geçmiş verilerden hareketle kitle standart sapmasının σ=120\sigma = 120 TL olduğu bilinmektedir.

Buna göre, işletmelerin günlük ortalama geliri (μ\mu) için %95\%95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96 alınız.)

  1. (776,48;823,52)(776,48; 823,52)Cevap
  2. B
    (780,26;819,74)(780,26; 819,74)
  3. C
    (769,04;830,96)(769,04; 830,96)
  4. D
    (564,80;1035,20)(564,80; 1035,20)
  5. E
    (797,65;802,35)(797,65; 802,35)

Cevap

İşletmelerin günlük ortalama geliri için %95 güven aralığı (776,48;823,52)(776,48; 823,52) olarak hesaplanır.
Kitle standart sapması (σ\sigma) bilindiği ve örneklem hacmi büyük (n≥30n \geq 30) olduğu için ZZ tablosu değerleri kullanılır. Standart hata 1212 TL olarak hesaplanır. %95\%95 güven düzeyi için 1,961,96 kritik değeri ile bu standart hatanın çarpımı 23,5223,52 TL hata payını verir. Örneklem ortalaması olan 800800 TL değerine bu payın uygulanmasıyla elde edilen (776,48;823,52)(776,48; 823,52) aralığı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parametrelerin belirlenmesi
xˉ=800\bar{x} = 800, σ=120\sigma = 120, n=100n = 100, 1−α=0,95⇒Zα/2=1,961-\alpha = 0,95 \Rightarrow Z_{\alpha/2} = 1,96
Güven aralığı formülü için gerekli bileşenleri tanımlamak gerekir.
2
Standart hatanın hesaplanması
σxˉ=σn=120100=12010=12\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{120}{\sqrt{100}} = \frac{120}{10} = 12
Kitle ortalaması için güven aralığı oluşturulurken örneklem ortalamasının değişkenliğini ölçmek için standart hata kullanılır.
3
Hata payının (marjın) hesaplanması
HataP. =Zα/2×σxˉ=1,96×12=23,52Hata P.\ = Z_{\alpha/2} \times \sigma_{\bar{x}} = 1,96 \times 12 = 23,52
Güven düzeyine karşılık gelen kritik değer ile standart hatanın çarpımı, tahminin ne kadar sapabileceğini belirler.
4
Güven aralığı sınırlarının bulunması
Alt Sınır: 800−23,52=776,48800 - 23,52 = 776,48; Üst Sınır: 800+23,52=823,52800 + 23,52 = 823,52
Örneklem ortalamasına hata payı eklenip çıkarılarak parametrenin içinde kalması beklenen aralık elde edilir.

Anahtar Kavram

Tek kitle ortalaması için güven aralığı, kitle varyansı bilindiğinde ve örneklem yeterince büyük olduğunda standart normal dağılım (Z) kullanılarak oluşturulur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru