Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBernoulli Dağılımı

Bir kalite kontrol uygulamasında incelenen bir parçanın kusurlu olma olasılığı pp, kusursuz olma olasılığı ise 1−p1-p olarak belirlenmiştir. Parçanın kusurlu olması durumu X=1X=1 (başarı), kusursuz olması durumu ise X=0X=0 (başarısızlık) olarak tanımlanarak bir XX rastgele değişkeni oluşturulmuştur.

Buna göre, bu XX Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı Var(X)Var(X) ve moment çıkaran fonksiyonu MX(t)M_X(t) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

  1. Var(X)=p(1−p)Var(X) = p(1-p) ve MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^tCevap
  2. B
    Var(X)=p2Var(X) = p^2 ve MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^t
  3. C
    Var(X)=pVar(X) = \sqrt{p} ve MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^t
  4. D
    Var(X)=p(1+p)Var(X) = p(1+p) ve MX(t)=p+(1−p)etM_X(t) = p + (1-p)e^t
  5. E
    Var(X)=p(1−p)Var(X) = p(1-p) ve MX(t)=p+(1−p)etM_X(t) = p + (1-p)e^t

Cevap

Bernoulli rastgele değişkeninin varyansının p(1−p)p(1-p) ve moment çıkaran fonksiyonunun MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^t olarak verildiği seçenektir.
XX bir Bernoulli rastgele değişkeni olduğundan yalnızca 0 ve 1 değerlerini alabilir. Beklenen değer E[X]=1⋅p+0⋅(1−p)=pE[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p ve ikinci moment E[X2]=12⋅p+02⋅(1−p)=pE[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p olarak hesaplanır. Buradan varyans Var(X)=E[X2]−(E[X])2=p−p2=p(1−p)Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p) olarak bulunur. Moment çıkaran fonksiyon (MGF) ise tanım gereği E[etX]E[e^{tX}] ifadesidir. Kesikli değişken için bu toplam açıldığında et(0)⋅P(X=0)+et(1)⋅P(X=1)=(1−p)+pete^{t(0)} \cdot P(X=0) + e^{t(1)} \cdot P(X=1) = (1-p) + pe^t elde edilir. Bu özelliklerin doğru verildiği seçenek kesin olarak doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
XX'in beklenen değerini ve ikinci momentini hesaplamak.
E[X]=1⋅p+0⋅(1−p)=pE[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p ve E[X2]=12⋅p+02⋅(1−p)=pE[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p bulunur.
Varyans formülünde yerine koymak için bu temel momentlere ihtiyaç vardır.
2
Varyansı Var(X)=E[X2]−(E[X])2Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 formülü ile elde etmek.
Var(X)=p−p2=p(1−p)Var(X) = p - p^2 = p(1-p) sonucu elde edilir.
Değişkenin ortalaması etrafındaki yayılımını matematiksel olarak bulmak için standart varyans tanımı kullanılır.
3
Moment çıkaran fonksiyonu MX(t)=E[etX]M_X(t) = E[e^{tX}] temel tanımından türetmek.
MX(t)=et⋅0⋅P(X=0)+et⋅1⋅P(X=1)=1⋅(1−p)+et⋅p=(1−p)+petM_X(t) = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t olarak hesaplanır.
Dağılımın tüm momentlerini teorik olarak üreten fonksiyonu kesikli değişken kurallarına göre oluşturmak için.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımının Varyansı ve Moment Çıkaran Fonksiyonu
Bu soruyu puanla

Konular

Bernoulli Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru