Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bir kamu bankasında kredi başvurusu yapan bireylerin başvurularının onaylanma durumu, onaylanma olasılığı pp olan bir Bernoulli dağılımına uygunluk göstermektedir. Banka müfettişleri tarafından rastgele seçilen nn adet bağımsız başvurunun incelenmesi sonucunda toplam ∑i=1nXi=k\sum_{i=1}^{n} X_i = k adet başvurunun onaylandığı tespit edilmiştir. En çok olabilirlik (MLE) yönteminin değişmezlik (invariance) özelliği dikkate alındığında, başvurunun onaylanmama olasılığının onaylanma olasılığına oranı olarak tanımlanan τ=1−pp\tau = \frac{1-p}{p} parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. n−kk\frac{n-k}{k}Cevap
  2. B
    kn−k\frac{k}{n-k}
  3. C
    kn\frac{k}{n}
  4. D
    n−kn\frac{n-k}{n}
  5. E
    nk\frac{n}{k}

Cevap

İstenen parametrenin en çok olabilirlik tahmin edicisi, gözlemlenen başarısızlık sayısının başarı sayısına oranı olan n−kk\frac{n-k}{k} ifadesidir.
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik özelliği uyarınca, bir parametrenin fonksiyonunun tahmin edicisi, o fonksiyonun içine parametrenin kendi MLE değerinin yazılmasıyla elde edilir. Bernoulli dağılımı için pp parametresinin MLE değeri k/nk/n olduğundan, 1−pp\frac{1-p}{p} fonksiyonunda bu değer yerine yazıldığında sonuç (n−k)/k(n-k)/k olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ana parametre olan pp için en çok olabilirlik tahmin edicisini (MLE) belirle.
p^=∑Xin=kn\hat{p} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{k}{n}
Bernoulli dağılımında en çok olabilirlik tahmin edicisi örneklem ortalamasına eşittir.
2
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini uygula.
τ^=g(p^)=1−p^p^\hat{\tau} = g(\hat{p}) = \frac{1-\hat{p}}{\hat{p}}
Zehna Teoremi'ne göre, eğer θ^\hat{\theta}, θ\theta için bir MLE ise, g(θ)g(\theta) fonksiyonunun MLE'si g(θ^)g(\hat{\theta}) olur.
3
Bulunan p^\hat{p} değerini fonksiyonel ifadede yerine koyarak sadeleştir.
τ^=1−k/nk/n=(n−k)/nk/n=n−kk\hat{\tau} = \frac{1 - k/n}{k/n} = \frac{(n-k)/n}{k/n} = \frac{n-k}{k}
Payda eşitleme ve bölme işlemi sonucunda örneklem çapı nn ifadeleri sadeleşir.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Değişmezlik (Invariance) Özelliği
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bu konudan daha fazla soru