Examkin

Soru

Zorluk: ZorEn Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Kalite kontrol sürecinde incelenen elektronik parçaların ömür uzunlukları, beklenen değeri θ>0\theta > 0 olan üstel (eksponansiyel) dağılıma uymaktadır. Bu kitle dağılımından alınan nn hacimli rastgele örneklem kullanılarak θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi θ^=Xˉ\hat{\theta} = \bar{X} olarak bulunmuştur.

Araştırmacılar, bu bileşenlerin arıza oranını (rate parameter) temsil eden λ=1θ\lambda = \frac{1}{\theta} parametresini tahmin etmek istemektedir. En çok olabilirlik yönteminin değişmezlik (invariance) özelliği gereğince λ\lambda'nın tahmin edicisi λ^=1Xˉ\hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{X}} olarak belirlenmiştir.

Buna göre, λ^\hat{\lambda} tahmin edicisinin istatistiksel özellikleri hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Sonlu örneklemlerde yanlı (biased) bir tahmin edici olmasına rağmen tutarlıdır (consistent) ve asimptotik varyansı Cramer-Rao alt sınırına eşit olduğu için asimptotik etkindir.Cevap
  2. B
    Değişmezlik özelliği gereğince, Xˉ\bar{X} yansız bir tahmin edici olduğundan λ^\hat{\lambda} da her nn örneklem çapı için yansızdır ve varyansı minimumdur.
  3. C
    Tahmin edicinin beklenen değeri gerçek parametre değerinden farklı olduğu için (yanlılık barındırdığından) tutarlılık özelliğini sağlamaz.
  4. D
    Asimptotik varyansı Delta yöntemi ile hesaplandığında nθ2n\theta^2 olarak bulunur ve bu değer asimptotik Cramer-Rao alt sınırından her zaman büyüktür.
  5. E
    Log-olabilirlik fonksiyonu üzerinden türev alınırken doğrusal olmayan bir dönüşüm kullanıldığından, λ^\hat{\lambda} tahmin edicisi asimptotik normallik (asymptotic normality) özelliğini sağlamaz.

Cevap

Sonlu örneklemlerde yanlı (biased) bir tahmin edici olmasına rağmen tutarlıdır (consistent) ve asimptotik varyansı Cramer-Rao alt sınırına eşit olduğu için asimptotik etkindir.
Doğru seçenek, tahmin edicinin Jensen eşitsizliği nedeniyle sonlu örneklemlerde yanlı olduğunu, ancak sürekli fonksiyon teoremi sayesinde asimptotik tutarlılığını koruduğunu ve Delta yöntemiyle hesaplanan asimptotik varyansının tam olarak Cramer-Rao alt sınırına ulaştığını (asimptotik etkinlik) belirten ifadedir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin yansızlık (unbiasedness) özelliğinin incelenmesi.
E[1/Xˉ]>1/θE[1/\bar{X}] > 1/\theta olduğu görülür.
Dönüşüm fonksiyonu g(x)=1/xg(x) = 1/x dışbükey (konveks) olduğundan, Jensen eşitsizliği gereği beklenti operatörü fonksiyon içine doğrudan giremez ve tahmin edici yanlı olur.
2
Tahmin edicinin tutarlılık (consistency) özelliğinin incelenmesi.
Tahmin edici 1/θ1/\theta'ya olasıksal olarak yakınsar.
Büyük sayılar kanunu gereği Xˉ→pθ\bar{X} \xrightarrow{p} \theta'dır. Sürekli Fonksiyon Teoremi (Slutsky) sayesinde, sürekli bir dönüşüm olan g(x)=1/xg(x) = 1/x altında 1/Xˉ→p1/θ1/\bar{X} \xrightarrow{p} 1/\theta tutarlılığı korunur.
3
Asimptotik varyansın Delta yöntemi ile hesaplanması.
Asimptotik varyans 1/(nθ2)1/(n\theta^2) olarak elde edilir.
Var(g(Xˉ))≈[g′(θ)]2Var(Xˉ)=(−1/θ2)2(θ2/n)Var(g(\bar{X})) \approx [g'(\theta)]^2 Var(\bar{X}) = (-1/\theta^2)^2 (\theta^2/n) formülü kullanılarak asimptotik dağılımın varyansı hesaplanır.
4
Asimptotik etkinlik (efficiency) durumunun değerlendirilmesi.
Asimptotik etkinlik sağlanır.
Elde edilen asimptotik varyans, λ=1/θ\lambda = 1/\theta parametresi üzerinden hesaplanan Cramer-Rao alt sınırına (1/In(λ)1/I_n(\lambda)) tam olarak eşittir.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinde Dönüşümler (Invariance), Delta Yöntemi ve Asimptotik Özellikler
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bu konudan daha fazla soru