Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

İstatistiksel sonuç çıkarımında, Cramer-Rao düzenlilik koşullarını sağlayan bir kitle dağılımından alınan rastgele örneklem yardımıyla bilinmeyen θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi (EÇOT) θ^\hat{\theta} olarak elde edilmiştir.

Bu bilgiye dayanarak, sürekli, türevlenebilir ve doğrusal olmayan bir g(θ)g(\theta) fonksiyonu tanımlanıyor. Ayrıca tüm θ\theta değerleri için g′(θ)≠0g'(\theta) \neq 0 olduğu biliniyor.

g(θ^)g(\hat{\theta}) istatistiğinin asimptotik özellikleri ve değişmezlik (invariance) prensibi dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    Değişmezlik özelliği sadece doğrusal dönüşümlerde geçerli olduğu için g(θ^)g(\hat{\theta}), g(θ)g(\theta)'nın en çok olabilirlik tahmin edicisi değildir.
  2. B
    Tahmin edicinin asimptotik olarak tutarlı (consistent) olabilmesi için sonlu örneklemlerde de mutlaka yansız olması gerekir.
  3. g(θ)g(\theta) parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisidir ve asimptotik olarak etkin (efficient) bir tahmin edicidir.Cevap
  4. D
    g(θ^)g(\hat{\theta}) tahmin edicisinin varyansı, her örneklem çapı (nn) için g(θ)g(\theta)'nın Cramer-Rao alt sınırına tam olarak eşittir.
  5. E
    Doğrudan log-olabilirlik fonksiyonunun g(θ)g(\theta)'ya göre türevinin sıfıra eşitlenmesiyle bulunacak tahmin edici, g(θ^)g(\hat{\theta})'dan farklıdır.

Cevap

g(θ)g(\theta) parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisidir ve asimptotik olarak etkin (efficient) bir tahmin edicidir.
Doğru seçenek, g(θ^)g(\hat{\theta}) istatistiğinin hem değişmezlik kuralı gereği EÇOT olduğunu hem de asimptotik olarak etkin olduğunu belirten ifadedir. Değişmezlik kuralı, θ^\hat{\theta} bir EÇOT ise g(θ^)g(\hat{\theta})'nın da g(θ)g(\theta) için EÇOT olduğunu garanti eder. Ayrıca, θ^\hat{\theta} düzenlilik koşulları altında asimptotik normal ve etkin olduğundan, türevi sıfırdan farklı olan g(θ)g(\theta) fonksiyonları için Delta metodu yardımıyla g(θ^)g(\hat{\theta})'nın da asimptotik etkin olduğu ispatlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişmezlik (invariance) özelliğinin g(θ)g(\theta) fonksiyonu üzerindeki etkisini belirlemek.
g(θ)g(\theta)'nın en çok olabilirlik tahmin edicisinin g(θ^)g(\hat{\theta}) olduğu tespit edilir.
En çok olabilirlik tahmin edicilerinde değişmezlik prensibi, herhangi bir gg fonksiyonu için parametrenin fonksiyonunun EÇOT'unun, parametrenin EÇOT'unun fonksiyonda yerine yazılmasıyla elde edileceğini belirtir.
2
g(θ^)g(\hat{\theta}) tahmin edicisinin büyük örneklem (asimptotik) özelliklerini incelemek.
g(θ^)g(\hat{\theta})'nın asimptotik olarak normal dağılıma sahip olduğu ve etkin (efficient) olduğu sonucuna varılır.
Düzenlilik koşulları altında θ^\hat{\theta} asimptotik etkindir. g′(θ)≠0g'(\theta) \neq 0 koşulu sağlandığında, Delta metodu gereği g(θ^)g(\hat{\theta}) da asimptotik varyansı Cramer-Rao alt sınırına eşit olacak şekilde dağılır ve asimptotik etkin olur.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinde Değişmezlik ve Asimptotik Etkinlik
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bu konudan daha fazla soru