Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bir istatistiksel araştırmada, belirli bir parametrik aileden alınan rastgele örneklem yardımıyla bilinmeyen θ\theta parametresinin en çok olabilirlik (MLE) tahmin edicisi θ^\hat{\theta} olarak elde edilmiştir. Araştırmacı, τ=g(θ)\tau = g(\theta) ile tanımlanan yeni bir parametreyi tahmin etmek istemektedir. Burada g(⋅)g(\cdot), sürekli, türevlenebilir ancak birebir (1-1) olmayan doğrusal olmayan bir fonksiyondur.

En çok olabilirlik tahmin edicilerinin genel özellikleri ve değişmezlik (invariance) prensibi dikkate alındığında, elde edilen τ^=g(θ^)\hat{\tau} = g(\hat{\theta}) tahmin edicisi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    g(⋅)g(\cdot) fonksiyonu birebir (1-1) olmadığı için değişmezlik özelliği uygulanamaz ve τ^\hat{\tau}, τ\tau'nun geçerli bir en çok olabilirlik tahmin edicisi olamaz.
  2. B
    τ^\hat{\tau} tahmin edicisi büyük örneklemlerde τ\tau için asimptotik tutarlı bir tahmin edici olduğundan, örneklem çapından bağımsız olarak küçük örneklemlerde de kesinlikle yansızdır.
  3. Değişmezlik prensibi gereğince τ^\hat{\tau}, τ\tau'nun en çok olabilirlik tahmin edicisidir ve büyük örneklemlerde asimptotik olarak Normal dağılıma yakınsar.Cevap
  4. D
    τ^\hat{\tau}'nun asimptotik varyansını bulmak için Delta metodundaki türev karesi çarpanı olan [g′(θ)]2[g'(\theta)]^2 ihmal edilerek doğrudan θ^\hat{\theta}'nın varyansı kullanılır.
  5. E
    En çok olabilirlik tahmin edicisini elde etmek için değişmezlik kuralı kullanılamaz; her zaman olabilirlik fonksiyonunun logaritması alınarak doğrudan τ\tau'ya göre yeniden türevlenmesi gerekir.

Cevap

Değişmezlik prensibi gereğince elde edilen tahmin edici, yeni parametrenin en çok olabilirlik tahmin edicisidir ve asimptotik olarak Normal dağılıma yakınsar.
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin (MLE) en önemli özelliklerinden biri değişmezlik (invariance) prensibidir. Zehna Teoremi'ne göre, ilgilenilen dönüştürme fonksiyonu g(⋅)g(\cdot) birebir (1-1) olmasa dahi, θ\theta'nın MLE'si θ^\hat{\theta} ise g(θ)g(\theta)'nın MLE'si doğrudan g(θ^)g(\hat{\theta}) olarak elde edilir. Ayrıca, belirli düzenlilik koşulları sağlandığında MLE tahmin edicileri büyük örneklemlerde asimptotik olarak Normal dağılıma yakınsar. Delta metodu sayesinde bu özellik türevlenebilir fonksiyon dönüşümlerinde de aynen korunur. Bu nedenle değişmezlik prensibini ve asimptotik normalliği doğru şekilde ifade eden seçenek kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
MLE'nin değişmezlik (invariance) özelliğinin tanımını ve Zehna Teoremini hatırlamak.
Eğer θ^\hat{\theta}, θ\theta'nın MLE'si ise, g(θ)g(\theta)'nın MLE'si her zaman g(θ^)g(\hat{\theta})'dır.
Zehna Teoremi, bu kuralın fonksiyonun birebir (1-1) olma şartını gerektirmediğini matematiksel olarak kanıtlar.
2
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin asimptotik Normallik özelliğini dönüşüm altında değerlendirmek.
Düzenlilik koşulları altında MLE'ler asimptotik Normal dağılıma yakınsar. Delta metodu sayesinde türevlenebilir g(⋅)g(\cdot) dönüşümleri de asimptotik Normalliği korur.
Büyük örneklemlerde parametrenin davranışı asimptotik teoriler ile açıklanır ve doğrusal olmayan düzgün dönüşümler asimptotik dağılım formunu (Normal) bozmaz.
3
Seçeneklerdeki yanılgıları analiz ederek doğru ifadeyi bulmak.
Birebir fonksiyon şartı arayan, tutarlılığı yansızlık ile eş tutan, asimptotik varyans hesabında türevi ihmal eden ve gereksiz yeniden türev alma adımı şart koşan ifadeler elenir.
Yalnızca değişmezlik prensibi ve asimptotik normalliğin birlikte, doğru biçimde verildiği seçenek bilimsel olarak eksiksizdir.

Anahtar Kavram

MLE Değişmezlik (Invariance) Özelliği ve Asimptotik Normallik
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bu konudan daha fazla soru