Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorEn Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n, Cramer-Rao düzenlilik koşullarını sağlayan bir kitle dağılımından alınmış rastgele örneklemi göstersin. Bu dağılımın bilinmeyen parametresi θ\theta için en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) θ^n\hat{\theta}_n ve birim gözleme ait Fisher bilgi miktarı I(θ)>0I(\theta) > 0'dır.

τ(θ)\tau(\theta), θ\theta'nın birinci türevi sürekli olan ve τ′(θ)≠0\tau'(\theta) \neq 0 koşulunu sağlayan doğrusal olmayan bir fonksiyonu olsun. Değişmezlik (invariance) prensibi gereğince τ(θ)\tau(\theta)'nın en çok olabilirlik tahmin edicisi Tn=τ(θ^n)T_n = \tau(\hat{\theta}_n) olarak belirlenmiştir.

Bu bilgilere göre, TnT_n tahmin edicisinin özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. TnT_n, τ(θ)\tau(\theta) için asimptotik olarak yansız ve tutarlıdır; ayrıca Delta yöntemi gereği asimptotik varyansı [τ′(θ)]2nI(θ)\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n I(\theta)} olup asimptotik etkinliğe sahiptir.Cevap
  2. B
    Değişmezlik özelliği nedeniyle, eğer θ^n\hat{\theta}_n sonlu örneklem çaplarında θ\theta için yansız ise, TnT_n de τ(θ)\tau(\theta) için kesinlikle yansız bir tahmin edicidir.
  3. C
    TnT_n, τ(θ)\tau(\theta) için tutarlı bir tahmin edici olduğundan, E[Tn]=τ(θ)E[T_n] = \tau(\theta) eşitliği her örneklem çapı nn için istisnasız sağlanır.
  4. D
    TnT_n'nin asimptotik varyansı, dönüştürülmüş parametrenin Fisher bilgi miktarına bağlı olarak τ′(θ)nI(θ)\frac{\tau'(\theta)}{n I(\theta)} değerine eşittir.
  5. E
    τ(θ)\tau(\theta) doğrusal olmayan bir fonksiyon olduğundan, değişmezlik prensibi TnT_n'nin tutarlılığını garanti eder ancak asimptotik normallik özelliğini ortadan kaldırır.

Cevap

Delta yöntemi kullanılarak TnT_n'nin asimptotik varyansının [τ′(θ)]2/(nI(θ))[\tau'(\theta)]^2 / (n I(\theta)) olduğu ve asimptotik etkinliğe sahip olduğunu belirten ifadedir.
Doğru ifade, MLE'nin değişmezlik özelliği ile bulunan TnT_n tahmin edicisinin Delta yöntemi uyarınca asimptotik normal ve asimptotik etkin olduğunu, asimptotik varyansının ise Cramer-Rao alt sınırı ile eşleştiğini eksiksiz ve matematiksel olarak doğru biçimde açıklamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
En çok olabilirlik tahmin edicisinin (MLE) asimptotik dağılımını belirleme.
Düzenlilik koşulları altında n(θ^n−θ)→dN(0,I(θ)−1)\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta) \xrightarrow{d} N(0, I(\theta)^{-1}) asimptotik dağılımı geçerlidir.
MLE'nin temel asimptotik özellikleri, büyük örneklemlerde normal dağılıma yakınsadığını ve varyansının Fisher bilgi miktarının tersine eşit olduğunu gösterir.
2
Değişmezlik (invariance) prensibini ve Sürekli Dönüşüm Teoremini (Continuous Mapping Theorem) uygulama.
Tn=τ(θ^n)T_n = \tau(\hat{\theta}_n) tahmin edicisi, τ\tau sürekli olduğundan τ(θ)\tau(\theta) için tutarlıdır.
Tutarlı bir tahmin edicinin sürekli bir fonksiyonu da tutarlılık özelliğini korur.
3
Delta yöntemini kullanarak TnT_n'nin asimptotik dağılımını ve varyansını bulma.
n(τ(θ^n)−τ(θ))→dN(0,[τ′(θ)]2I(θ)−1)\sqrt{n}(\tau(\hat{\theta}_n) - \tau(\theta)) \xrightarrow{d} N(0, [\tau'(\theta)]^2 I(\theta)^{-1}). Bu durumda asimptotik varyans [τ′(θ)]2nI(θ)\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n I(\theta)} olur.
Delta yöntemi, asimptotik normal bir dizinin sürekli türevlenebilir bir fonksiyonunun asimptotik varyansını, orijinal varyansın türevin karesi ile çarpımı olarak verir.
4
Bulunan varyansı Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) ile karşılaştırma.
Bir fonksiyon olan τ(θ)\tau(\theta) için CRLB tam olarak [τ′(θ)]2nI(θ)\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n I(\theta)}'dır. TnT_n'nin asimptotik varyansı bu değere eşit olduğu için asimptotik etkindir.
Asimptotik etkinlik, tahmin edicinin varyansının asimptotik olarak Cramer-Rao alt sınırına ulaşması demektir.
5
Doğrusal olmayan dönüşümlerde yansızlık durumunu analiz etme.
Jensen eşitsizliği nedeniyle E[τ(θ^n)]≠τ(E[θ^n])E[\tau(\hat{\theta}_n)] \neq \tau(E[\hat{\theta}_n]) olur. MLE yansız olsa bile TnT_n sonlu örneklemlerde yanlı olabilir.
Beklenen değer operatörü doğrusal olmayan fonksiyonlarla yer değiştiremez. Bu nedenle yansızlık değişmezlik prensibi ile taşınmaz.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinde Değişmezlik ve Delta Yöntemi
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bu konudan daha fazla soru