Bir elektronik cihazın (yıl cinsinden) arızalanma süresini modelleyen T sürekli rastgele d… — KPSS İstatistik

Bir elektronik cihazın (yıl cinsinden) arızalanma süresini modelleyen $T$ sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(t) = \begin{cases} k \sqrt{t}, & 0 \leq t \leq 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, bu cihazın en az 1 yıl arızalanmadan çalışma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{1}{8}$
B
$\frac{3}{16}$
C
$\frac{7}{12}$
$\frac{7}{8}$ Cevap
E
$\frac{13}{16}$

Cevap

İstenilen olasılık

\frac{7}{8}

'dir.

Sürekli bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) en temel özelliği

\int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt = 1

olmasıdır. Fonksiyon

[0, 4]

aralığında tanımlı olduğu için öncelikle

\int_{0}^{4} k\sqrt{t} dt = 1

denklemi çözülerek

k = \frac{3}{16}

bulunur. Cihazın 'en az 1 yıl' arızalanmaması durumu

P(T \geq 1)

olasılığına karşılık gelir. Dağılımın tanımlı olduğu üst sınır 4 olduğundan, bu olasılık

\int_{1}^{4} \frac{3}{16}\sqrt{t} dt

integrali hesaplanarak bulunur.

\frac{3}{16} \cdot \frac{2}{3} [t^{3/2}]_1^4 = \frac{1}{8}(8 - 1) = \frac{7}{8}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm uzaydaki integralini 1'e eşitleyerek

k

sabitini bulunuz.

\int_{0}^{4} k t^{1/2} dt = k \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_{0}^{4} = k \left( \frac{2}{3} \cdot 8 \right) = \frac{16k}{3} = 1 \implies k = \frac{3}{16}

Bir fonksiyonun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) olabilmesi için tanımlı olduğu aralıktaki toplam alanının (integralinin) 1 olması gerekir.

Elde edilen

k

değerini yerine koyarak, istenen durum için integrali hesaplayınız. Cihazın 'en az 1 yıl' çalışması,

T \geq 1

demektir. Dağılımın üst sınırı 4 olduğundan integral [1, 4] aralığında alınmalıdır.

P(T \geq 1) = \int_{1}^{4} \frac{3}{16} t^{1/2} dt = \frac{3}{16} \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_{1}^{4}

Sürekli rastgele değişkenlerde belirli bir aralığa düşme olasılığı, PDF fonksiyonunun o aralıktaki belirli integrali hesaplanarak bulunur.

İntegral sınırlarını formülde yerine koyarak matematiksel sonucu elde ediniz.

P(T \geq 1) = \frac{3}{16} \cdot \frac{2}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{1}{8} (8 - 1) = \frac{7}{8}

Belirli integralin sınırları olan 4 ve 1 değerlerini fonksiyona yerleştirip farkı aldığımızda kesin olasılık değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Yoğunluk Fonksiyonu Özellikleri ve Olasılık Hesabı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular