Bir fabrikada üretilen özel bir alaşım telin kopma dayanımı (ton cinsinden) sürekli bir X … — KPSS İstatistik

Bir fabrikada üretilen özel bir alaşım telin kopma dayanımı (ton cinsinden) sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x) = \begin{cases} k(x - 2)(6 - x), & 2 \leq x \leq 6 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, rastgele seçilen bir telin kopma dayanımının $3$ ile $5$ ton arasında olma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{5}{16}$
$\frac{11}{16}$ Cevap
D
$\frac{3}{4}$
E
$\frac{27}{32}$

Cevap

Rastgele seçilen bir telin kopma dayanımının

3

ile

5

ton arasında olma olasılığı

\frac{11}{16}

'dır.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun geçerli olabilmesi için tüm aralıktaki integralinin 1 olması gerekir.

\int_{2}^{6} k(8x - x^{2} - 12) dx = 1

eşitliğinden

k = \frac{3}{32}

bulunur. İstenen olasılık

P(3 < X < 5) = \int_{3}^{5} \frac{3}{32}(8x - x^{2} - 12) dx

integrali ile hesaplanır. İntegral sonucu

\frac{3}{32} \left[ 4x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 12x \right]_{3}^{5}

işleminin yapılmasıyla

\frac{11}{16}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) tanım aralığındaki toplam alanının 1 olması kuralını kullanarak

k

sabitini hesaplayın.

\int_{2}^{6} k(x-2)(6-x) dx = 1 \implies k \cdot \left[ 4x^2 - \frac{x^3}{3} - 12x \right]_{2}^{6} = 1 \implies k \cdot \frac{32}{3} = 1 \implies k = \frac{3}{32}

Bir fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için tüm olası değerleri üzerindeki integralinin 1'e eşit olması zorunludur.

İstenen

P(3 < X < 5)

olasılığını bulmak için bulunan

k

değeri ile fonksiyonun sınırlarını 3 ve 5 olarak belirleyerek belirli integrali kurun.

P(3 < X < 5) = \int_{3}^{5} \frac{3}{32} (8x - x^2 - 12) dx

Sürekli rastgele değişkenlerde belirli bir aralığa düşme olasılığı, PDF'in o aralıktaki eğrisi altında kalan alana (belirli integrale) eşittir.

Belirli integrali hesaplayarak üst sınır (5) ve alt sınır (3) değerlerini yerine koyup sonucu bulun.

\frac{3}{32} \left[ 4(25) - \frac{125}{3} - 60 \right] - \frac{3}{32} \left[ 4(9) - \frac{27}{3} - 36 \right] = \frac{3}{32} \left(-\frac{5}{3} - (-9)\right) = \frac{3}{32} \cdot \frac{22}{3} = \frac{11}{16}

İntegral hesabının doğru ve dikkatli bir şekilde sınır değerlerine uygulanması ile matematiksel sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sürekli rastgele değişkenlerde olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) özellikleri ve belirli integral kullanılarak alan (olasılık) hesaplanması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru